Exemplo 2.6.2: Uma quantidade k depende da temperatura T na segulinte forma:
\begin{aligned} & \mathrm{k}\left(\frac{\mathrm{~mol}}{\mathrm{~cm} \mathrm{~m}^{\mathrm{J}} \cdot \mathrm{~s}}\right)=1.23 \times 10^{5} \cdot \exp \left(\frac{-20.000}{1,987 \cdot \mathrm{~T}}\right) \\\ & \mathrm{k}\left(\frac{\mathrm{~mol}}{\mathrm{~cm} \mathrm{~m}^{\mathrm{J}} \cdot \mathrm{~s}}\right)=1.23 \times 10^{5} \cdot \mathrm{e}\left(\frac{-20000}{1,987 \mathrm{~T}}\right) \end{aligned}
As unidádes da quantidade 20.000 são cal/mol e T está em K
Quais são as unidades das constantes 1,23 \times 10^{5} e 1,987 ?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta. Os dados relevantes são:
  • A lei dada é
k = 1{,}23\times10^{5}\cdot\exp\!\left(\frac{-20000}{1{,}987\cdot T}\right),
onde foi informado que a quantidade 20000 tem unidades de \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1} e que T está em \mathrm{K}.
  • O enunciado pergunta: quais são as unidades das constantes 1{,}23\times10^{5} e 1{,}987 ?

Passo 2

Regra chave (aula curta): o argumento de uma exponencial deve ser adimensional (sem unidades). Ou seja, na parte
\frac{20000}{1{,}987\cdot T}
a fração inteira precisa resultar em um número puro (sem unidades). Isso vai fixar as unidades de 1{,}987.
Explicando com calma: 20000 tem unidades \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}. T tem unidades \mathrm{K}. Para que
\frac{\text{(unidades de }20000)}{\text{(unidades de }1{,}987)\times \text{(unidades de }T)}
seja adimensional, as unidades de 1{,}987 devem ser tais que
\frac{\mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}}{(\text{unidades de }1{,}987)\cdot\mathrm{K}}=\text{(adimensional)}.

Passo 3

Conclusão para 1{,}987: para cancelar \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1} no numerador e \mathrm{K} no denominador, as unidades de 1{,}987 devem ser
\mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
Portanto 1{,}987 é a constante dos gases na unidade cal/(mol·K). (Rigorosamente, 1{,}987 representa 1{,}987\\ \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.)

Passo 4

Agora sobre 1{,}23\times10^{5}: a expressão é k = (1{,}23\times10^{5})\times\exp(\cdots). A exponencial é adimensional, logo a unidade de 1{,}23\times10^{5} é exatamente a unidade de k. Ou seja, o fator pré-exponencial (frequentemente chamado de A na equação de Arrhenius) tem as mesmas unidades que k.

Passo 5

Olhe o que o enunciado mostrou entre parênteses ao lado de k: aquelas são as unidades de k. Interpretando o texto (forma usualmente usada para velocidade de reação em unidades de volume cgs), a unidade escrita corresponde a
\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}^{-3}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Portanto 1{,}23\times10^{5} tem unidades \mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}^{-3}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Resumindo a lógica para você usar na prova (passo a passo que dá certo sempre):
  • Verifique unidades no expoente: devem cancelar para dar adimensional. Isso determina a unidade de qualquer constante que apareça multiplicando T no denominador (aqui determinou 1{,}987).
  • O pré-fator multiplicativo da exponencial tem as mesmas unidades do k porque a exponencial é adimensional.

Resposta

1{,}23\times10^{5}:\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}^{-3}\cdot\mathrm{s}^{-1}
1{,}987:\\ \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}

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