Exemplo 2:
Se
, onde
, determine
. (deixar em função de
).
Se
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e as parametrizações
e
. Pede-se determinar
em função de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. -
. -
.
O que queremos:onde .
Passo 2
Conceito necessário (cadeia para funções de várias variáveis). Se
e
, então a derivada total de
em relação a
é dada pela regra da cadeia:
Explicando cada termo:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
e são as derivadas das funções parametrizadoras.
Intuição rápida: mudanças emmudam e ; cada uma dessas mudanças afeta e somamos os efeitos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
(com
constante):
- derivada de
em relação a é (pois é constante); - derivada de
em relação a é .
Portanto,
Derivando em relação a
(com
constante):
- derivada de
em relação a é ; - derivada de
em relação a é .
Portanto,
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
.
Dado
, tem-se
Dado
, tem-se
Passo 5
Avaliar as parciais em
e montar a fórmula da cadeia.
Primeiro avaliar
em
:
Avaliar
em
:
Agora aplicar a regra da cadeia:
Substituindo
e
,
Passo 6
Fazer as multiplicações e simplificar:
Multiplicando os termos:
Somando:
Também é possível fatorar: