Exemplo 2:
Se z=f(x, y)=4 x y-x^{2}, onde x(t)=2 t, y(t)=t^{2}, determine \frac{d z}{d t}. (deixar em função de t ).

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis z=f(x,y)=4xy-x^{2} e as parametrizações x(t)=2t e y(t)=t^{2}. Pede-se determinar \dfrac{dz}{dt} em função de t.
Informações dadas:
  • f(x,y)=4xy-x^{2}.
  • x(t)=2t.
  • y(t)=t^{2}.
    O que queremos: \dfrac{dz}{dt} onde z(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr).

Passo 2

Conceito necessário (cadeia para funções de várias variáveis). Se z=f(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), então a derivada total de z em relação a t é dada pela regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante.
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas das funções parametrizadoras.
    Intuição rápida: mudanças em t mudam x e y; cada uma dessas mudanças afeta z e somamos os efeitos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=4xy-x^{2}.
Derivando em relação a x (com y constante):
  • derivada de 4xy em relação a x é 4y (pois y é constante);
  • derivada de -x^{2} em relação a x é -2x.
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=4y-2x.
Derivando em relação a y (com x constante):
  • derivada de 4xy em relação a y é 4x;
  • derivada de -x^{2} em relação a y é 0.
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=4x.

Passo 4

Calcular as derivadas de x(t) e y(t).
Dado x(t)=2t, tem-se
\frac{dx}{dt}=2.
Dado y(t)=t^{2}, tem-se
\frac{dy}{dt}=2t.

Passo 5

Avaliar as parciais em x(t),y(t) e montar a fórmula da cadeia.
Primeiro avaliar \dfrac{\partial f}{\partial x} em \bigl(x(t),y(t)\bigr):
\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)=4\,y(t)-2\,x(t)=4\,(t^{2})-2\,(2t)=4t^{2}-4t.
Avaliar \dfrac{\partial f}{\partial y} em \bigl(x(t),y(t)\bigr):
\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)=4\,x(t)=4\,(2t)=8t.
Agora aplicar a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\bigl(4t^{2}-4t\bigr)\cdot\frac{dx}{dt}+\bigl(8t\bigr)\cdot\frac{dy}{dt}.
Substituindo \dfrac{dx}{dt}=2 e \dfrac{dy}{dt}=2t,
\frac{dz}{dt}=(4t^{2}-4t)\cdot 2 + (8t)\cdot 2t.

Passo 6

Fazer as multiplicações e simplificar:
Multiplicando os termos:
(4t^{2}-4t)\cdot 2 = 8t^{2}-8t, \qquad (8t)\cdot 2t = 16t^{2}.
Somando:
8t^{2}-8t+16t^{2}=24t^{2}-8t.
Também é possível fatorar:
24t^{2}-8t=8t(3t-1).

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=24t^{2}-8t

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