Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
x y^{\prime}+y=2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y'(x)+y(x)=2x
e pede as soluções gerais. Informações relevantes:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada aparece multiplicada por x, logo o comportamento em x=0 merece atenção (o coeficiente de y' anula-se).
  • Deve-se encontrar a família geral de soluções (com constante(s) arbitrária(s)).

Passo 2

Observação sobre domínio: a equação está bem escrita para x\neq0. Em x=0 a equação reduz-se a
0\cdot y'(0)+y(0)=0\quad\Rightarrow\quad y(0)=0,
mas a forma normalizada y'+\tfrac{1}{x}y=2 não é válida em x=0. Então primeiro resolvemos para x\neq0 (intervalos onde o sinal de x é fixo) e depois tratamos a possibilidade de estender a solução a x=0.

Passo 3

Para x\neq0 dividimos a equação por x e colocamos na forma linear padrão:
y'(x)+\frac{1}{x}y(x)=2.
Aqui P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=2.

Passo 4

Método do fator integrante (explicação didática):
  • Para uma equação linear de primeira ordem y'+P(x)y=Q(x), o fator integrante é
\mu(x)=e^{\displaystyle\int P(x)\,dx}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\big(\mu(x)y(x)\big)'=\mu(x)Q(x),
que integra facilmente.
Aplicando aqui: \displaystyle\int P(x)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|, então
\mu(x)=e^{\ln|x|}=|x|.
Em cada intervalo onde x>0 ou x<0 pode-se tomar \mu(x)=x (ou \mu(x)=-x); o sinal será absorvido na constante de integração. Uma observação mais direta e prática é notar que já tínhamos, antes de dividir, a equação na forma
x y'(x)+y(x)=2x,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x\,y(x), pois
\big(x\,y(x)\big)'=x y'(x)+y(x).
Isto é consistente com usar \mu(x)=x.

Passo 5

Usando que \big(xy\big)'=2x, integramos ambos os lados em x:
\int \big(xy\big)' \,dx=\int 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,y(x)=x^2+C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 6

Isolando y(x) para x\neq0:
y(x)=\frac{x^2+C}{x}=x+\frac{C}{x},
com C\in\mathbb{R}. Essa é a família geral de soluções em qualquer intervalo que não contenha x=0 (por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0)).

Passo 7

Comentário sobre x=0 e soluções estendidas: se C\neq0 a função y(x)=x+\dfrac{C}{x} tem singularidade em x=0 e não pode ser estendida a uma solução definida em 0. Se C=0 obtemos a função y(x)=x, que é definida e diferenciável em toda a reta e satisfaz a equação original também em x=0 (pois em 0 fica y(0)=0, conforme exigido). Assim y(x)=x é a única solução da família que se estende a todo \mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar): para y(x)=x+\dfrac{C}{x},
y'(x)=1-\frac{C}{x^2},
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x y'(x)+y(x)=x\Big(1-\frac{C}{x^2}\Big)+\Big(x+\frac{C}{x}\Big)=x-\frac{C}{x}+x+\frac{C}{x}=2x,
confirma a solução.

Resposta

y(x)=x+\frac{C}{x},\quad C\in\mathbb{R},\quad x\neq0
\text{Solução definida em todo }\mathbb{R}: \; y(x)=x \;(\text{caso }C=0)çã

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