Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
x y^{\prime}+y=2 x
x y^{\prime}+y=2 x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede as soluções gerais. Informações relevantes:
- A incógnita é a função
. - A derivada aparece multiplicada por
, logo o comportamento em merece atenção (o coeficiente de anula-se). - Deve-se encontrar a família geral de soluções (com constante(s) arbitrária(s)).
Passo 2
Observação sobre domínio: a equação está bem escrita para
. Em
a equação reduz-se a
mas a forma normalizada
não é válida em
. Então primeiro resolvemos para
(intervalos onde o sinal de
é fixo) e depois tratamos a possibilidade de estender a solução a
.
Passo 3
Para
dividimos a equação por
e colocamos na forma linear padrão:
Aqui
e
.
Passo 4
Método do fator integrante (explicação didática):
- Para uma equação linear de primeira ordem
, o fator integrante é
- Multiplicando a equação por
obtemos
que integra facilmente.
Aplicando aqui:
, então
Em cada intervalo onde
ou
pode-se tomar
(ou
); o sinal será absorvido na constante de integração. Uma observação mais direta e prática é notar que já tínhamos, antes de dividir, a equação na forma
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Isto é consistente com usar
.
Passo 5
Usando que
, integramos ambos os lados em
:
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 6
Isolando
para
:
com
. Essa é a família geral de soluções em qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo
ou
).
Passo 7
Comentário sobre
e soluções estendidas: se
a função
tem singularidade em
e não pode ser estendida a uma solução definida em
. Se
obtemos a função
, que é definida e diferenciável em toda a reta e satisfaz a equação original também em
(pois em
fica
, conforme exigido). Assim
é a única solução da família que se estende a todo
.
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar): para
,
logo
confirma a solução.