Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
x y^{\prime}+2 y=4 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
x\,y'(x)+2\,y(x)=4\,x^{2}
e pede as soluções gerais. Aqui y'(x) significa \dfrac{dy}{dx}. Não foram fornecidas condições iniciais; portanto queremos a família de soluções gerais (com constante arbitrária). Note que a equação envolve o fator x multiplicando y', então é importante notar que x=0 pode ser um ponto singular — primeiro vamos resolver para x\neq0.

Passo 2

Para x\neq0 podemos dividir ambos os lados da equação por x. Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo por x obtemos
y'(x)+\frac{2}{x}\,y(x)=4x.
Aqui a equação tem a forma padrão
y'+p(x)\,y=q(x),
com p(x)=\dfrac{2}{x} e q(x)=4x.

Passo 3

Explicando o método que vamos usar (fácil e padrão): para uma equação linear de primeira ordem y'+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo no derivado de \mu(x)\,y(x), ou seja \big(\mu y\big)'=\mu q. Depois integra-se e isola-se y.

Passo 4

Calcular o fator integrante para p(x)=\dfrac{2}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(2\ln|x|\big)=|x|^{2}.
Como estamos trabalhando com x\neq0 podemos escolher \mu(x)=x^{2} (a diferença de sinal não altera a relação porque multiplicar por |x|^{2} ou por x^{2} só difere por sinal quando x<0, mas esse sinal constante já fica absorvido na constante de integração em seguida).

Passo 5

Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{2} obtemos (usar a regra do produto para ver o lado esquerdo):
x^{2}y'(x)+2x\,y(x)=4x^{3}.
O lado esquerdo é exatamente o derivado de x^{2}y(x), pois
\big(x^{2}y(x)\big)'=2x\,y(x)+x^{2}y'(x).
Portanto a equação fica
\big(x^{2}y(x)\big)'=4x^{3}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(x^{2}y(x)\big)' \,dx = \int 4x^{3}\,dx.
A integral do lado esquerdo é x^{2}y(x) (mais uma constante de integração que colocamos no lado direito). A integral do lado direito é x^{4}. Assim obtemos
x^{2}y(x)=x^{4}+C,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 7

Isolando y(x) para x\neq0:
y(x)=x^{2}+C\,x^{-2}.
Essa é a família geral de soluções definidas em qualquer intervalo onde x\neq0 (por exemplo em x>0 ou em x<0). A constante C\in\mathbb{R} é a constante de integração.

Passo 8

Agora vamos analisar o ponto x=0. A equação original, avaliada em x=0, dá
0\cdot y'(0)+2\,y(0)=4\cdot0^{2}\quad\Rightarrow\quad 2\,y(0)=0\quad\Rightarrow\quad y(0)=0.
Das soluções da forma y(x)=x^{2}+C x^{-2}, apenas C=0 permite valor finito em x=0. Para C\neq0 a solução diverge em x=0 e não pode ser estendida continuamente até x=0. Para C=0 obtemos y(x)=x^{2}, que é uma função definida e derivável em todo \mathbb{R} e que satisfaz a equação original também em x=0 (verifique: y'(x)=2x e x\cdot2x+2x^{2}=4x^{2}, válida para todo x).

Passo 9

Resumo prático e incentivo: a técnica foi dividir por x (quando possível), usar fator integrante \mu(x)=x^{2}, transformar em derivada exata, integrar e isolar y. Não se esqueça de checar pontos singulares como x=0 — aqui eles permitem apenas a solução especial y=x^{2} que se estende por 0.

Resposta

y(x)=x^{2}+C\,x^{-2},\quad C\in\mathbb{R} para x\neq0
y(x)=x^{2} (única solução que se estende para todo x, correspondente a C=0)

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