Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
x y^{\prime}+2 y=4 x^{2}
x y^{\prime}+2 y=4 x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede as soluções gerais. Aqui
significa
. Não foram fornecidas condições iniciais; portanto queremos a família de soluções gerais (com constante arbitrária). Note que a equação envolve o fator
multiplicando
, então é importante notar que
pode ser um ponto singular — primeiro vamos resolver para
.
Passo 2
Para
podemos dividir ambos os lados da equação por
. Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo por
obtemos
Aqui a equação tem a forma padrão
com
e
.
Passo 3
Explicando o método que vamos usar (fácil e padrão): para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo no derivado de
, ou seja
. Depois integra-se e isola-se
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para
:
Como estamos trabalhando com
podemos escolher
(a diferença de sinal não altera a relação porque multiplicar por
ou por
só difere por sinal quando
, mas esse sinal constante já fica absorvido na constante de integração em seguida).
Passo 5
Multiplicando a equação por
obtemos (usar a regra do produto para ver o lado esquerdo):
O lado esquerdo é exatamente o derivado de
, pois
Portanto a equação fica
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
(mais uma constante de integração que colocamos no lado direito). A integral do lado direito é
. Assim obtemos
onde
é constante arbitrária real.
Passo 7
Isolando
para
:
Essa é a família geral de soluções definidas em qualquer intervalo onde
(por exemplo em
ou em
). A constante
é a constante de integração.
Passo 8
Agora vamos analisar o ponto
. A equação original, avaliada em
, dá
Das soluções da forma
, apenas
permite valor finito em
. Para
a solução diverge em
e não pode ser estendida continuamente até
. Para
obtemos
, que é uma função definida e derivável em todo
e que satisfaz a equação original também em
(verifique:
e
, válida para todo
).
Passo 9
Resumo prático e incentivo: a técnica foi dividir por
(quando possível), usar fator integrante
, transformar em derivada exata, integrar e isolar
. Não se esqueça de checar pontos singulares como
— aqui eles permitem apenas a solução especial
que se estende por
.