EXEMPLO4.Dada a função: f(x)=\left\{\begin{array}{c}c x^{2}, \text { se } 1 \leq x \leq 2 \\\ c x, \text { se } 2<x<3 \\\\ 0, \quad \text { p.o.v }\end{array}\right.
a)Determine o valor da constante " c ".
b) Calcule a \mathrm{P}(\mathrm{X}>2)
c)Calcule a média, a variância e o desvio padrão para V.A.C.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória contínua X\) com densidade de probabilidade definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} c\,x^{2}, & \text{se } 1\le x\le 2,\\[4pt] c\,x, & \text{se } 2<x<3,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar o valor da constante c\].
b) Calcular \(\mathrm{P}(X>2).
c) Calcular a média \mathbb{E}[X], a variância \operatorname{Var}(X) e o desvio padrão \sigma_X da V.A.C.]
Passo 2
Conceito e estratégia para achar c.
Para uma densidade de probabilidade f(x) de uma variável contínua, a regra de normalização é:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui a densidade é diferente em dois intervalos, então somamos as integrais nesses intervalos. Ou seja:
a) c=\dfrac{6}{29}
b) \mathrm{P}(X>2)=\dfrac{15}{29}
c) \mathbb{E}[X]=\dfrac{121}{58} \operatorname{Var}(X)=\dfrac{4921}{16820}\approx 0{,}29257 \sigma_X=\sqrt{\dfrac{4921}{16820}}\approx 0{,}54098