EXEMPLO4.Dada a função: f(x)=\left\{\begin{array}{c}c x^{2}, \text { se } 1 \leq x \leq 2 \\\ c x, \text { se } 2<x<3 \\\\ 0, \quad \text { p.o.v }\end{array}\right.
a)Determine o valor da constante " c ".
b) Calcule a \mathrm{P}(\mathrm{X}>2)
c)Calcule a média, a variância e o desvio padrão para V.A.C.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X\) com densidade de probabilidade definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} c\,x^{2}, & \text{se } 1\le x\le 2,\\[4pt] c\,x, & \text{se } 2<x<3,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar o valor da constante c\]. b) Calcular \(\mathrm{P}(X>2).
c) Calcular a média \mathbb{E}[X], a variância \operatorname{Var}(X) e o desvio padrão \sigma_X da V.A.C.]

Passo 2

Conceito e estratégia para achar c.
Para uma densidade de probabilidade f(x) de uma variável contínua, a regra de normalização é:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui a densidade é diferente em dois intervalos, então somamos as integrais nesses intervalos. Ou seja:
\int_{1}^{2} c\,x^{2}\,dx \;+\; \int_{2}^{3} c\,x\,dx \;=\; 1.
Agora vamos calcular cada integral passo a passo.

Passo 3

Calcular as integrais para normalização.
Primeira integral:
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.
Segunda integral:
\int_{2}^{3} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{3} = \frac{9}{2}-\frac{4}{2} = \frac{5}{2}.
Somando:
c\left(\frac{7}{3}+\frac{5}{2}\right)=1.
Calculando a soma:
\frac{7}{3}+\frac{5}{2} = \frac{14}{6}+\frac{15}{6}=\frac{29}{6}.
Logo:
c\cdot\frac{29}{6}=1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{6}{29}.

Passo 4

Resposta da letra (a) e interpretação para (b).
Encontramos:
c=\frac{6}{29}.
Para calcular \mathrm{P}(X>2): como X é contínua, o ponto x=2 tem probabilidade zero, então \mathrm{P}(X>2)=\mathrm{P}(X\ge 2). Assim:
\mathrm{P}(X>2)=\int_{2}^{3} f(x)\,dx = \int_{2}^{3} c\,x\,dx.
Já calculamos \int_{2}^{3} x\,dx=\dfrac{5}{2}, então
\mathrm{P}(X>2)=c\cdot\frac{5}{2}=\frac{6}{29}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{29}.

Passo 5

Conceito e fórmula da média (esperança).
A média de uma variável contínua é
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aplicando ao nosso caso (duas partes):
\mathbb{E}[X]=\int_{1}^{2} x\cdot c\,x^{2}\,dx + \int_{2}^{3} x\cdot c\,x\,dx = c\left(\int_{1}^{2} x^{3}\,dx + \int_{2}^{3} x^{2}\,dx\right).
Agora calculamos as integrais.

Passo 6

Cálculo das integrais para \mathbb{E}[X].
Primeira integral:
\int_{1}^{2} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}.
Segunda integral:
\int_{2}^{3} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{2}^{3} = \frac{27}{3}-\frac{8}{3}=\frac{19}{3}.
Somando:
\frac{15}{4}+\frac{19}{3}=\frac{45}{12}+\frac{76}{12}=\frac{121}{12}.
Multiplicando por c=\dfrac{6}{29}:
\mathbb{E}[X]=\frac{6}{29}\cdot\frac{121}{12}=\frac{121}{58}.

Passo 7

Conceito e cálculo de \mathbb{E}[X^{2}].
Precisamos de \mathbb{E}[X^{2}] para a variância, onde
\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx = c\left(\int_{1}^{2} x^{4}\,dx + \int_{2}^{3} x^{3}\,dx\right).
Calculamos as integrais.

Passo 8

Cálculo das integrais para \mathbb{E}[X^{2}].
Primeira:
\int_{1}^{2} x^{4}\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{1}^{2} = \frac{32}{5}-\frac{1}{5}=\frac{31}{5}.
Segunda:
\int_{2}^{3} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{2}^{3} = \frac{81}{4}-\frac{16}{4}=\frac{65}{4}.
Somando:
\frac{31}{5}+\frac{65}{4}=\frac{124}{20}+\frac{325}{20}=\frac{449}{20}.
Multiplicando por c=\dfrac{6}{29}:
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{6}{29}\cdot\frac{449}{20}=\frac{1347}{290}.

Passo 9

Cálculo da variância e do desvio padrão.
A variância é
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}] - \big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}.
Substituindo os valores exatos:
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{1347}{290},\qquad \mathbb{E}[X]=\frac{121}{58}.
Para subtrair com denominadores comuns usamos o mínimo múltiplo comum; fazendo as contas (detalhes aritméticos mostrados no desenvolvimento) obtemos:
\operatorname{Var}(X)=\frac{4921}{16820}\approx 0{,}29257.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{\frac{4921}{16820}}\approx 0{,}54098.

Resposta

a) c=\dfrac{6}{29}
b) \mathrm{P}(X>2)=\dfrac{15}{29}
c) \mathbb{E}[X]=\dfrac{121}{58}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{4921}{16820}\approx 0{,}29257
\sigma_X=\sqrt{\dfrac{4921}{16820}}\approx 0{,}54098

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