Um operador está realizando testes de rugosidade para avaliar o acabamento superficial após o processo de fresamento (usinagem). Foram realizados 5 testes em três amostras. Verifique se o processo está dentro dos limites de controle.
Testes Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3
1 0,63 0,66 0,64
2 0,64 0,64 0,63
3 0,64 0,65 0,65
4 0,62 0,65 0,64
5 0,67 0,67 0,64

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o processo de rugosidade está dentro dos limites de controle. Foram feitos 5 testes (subgrupos) e em cada teste há 3 medições (amostras). Os dados fornecidos são (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccc} \text{Testes} & \text{Amostra 1} & \text{Amostra 2} & \text{Amostra 3} \\hline 1 & 0,63 & 0,66 & 0,64 \\\\ 2 & 0,64 & 0,64 & 0,63 \\\\ 3 & 0,64 & 0,65 & 0,65 \\\\ 4 & 0,62 & 0,65 & 0,64 \\\\ 5 & 0,67 & 0,67 & 0,64 \\\ \end{array}
O que vou verificar: se as médias dos subgrupos (gráfico \bar{x}) e as amplitudes (gráfico R) estão dentro dos limites de controle. Não uso nenhuma outra informação além da tabela acima.

Passo 2

Definição e fórmula da média de um subgrupo (o que vou calcular agora): a média do i-ésimo subgrupo com n medições é
\bar{x}_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} x_{ij},
onde x_{ij} é a j-ésima medição do subgrupo i. Aqui n=3. Vou calcular \bar{x}_i para cada teste (cada linha).
Cálculos:
\bar{x}_1=\frac{0,63+0,66+0,64}{3}=\frac{1,93}{3}=0,6433\ldots\approx 0,6433
\bar{x}_2=\frac{0,64+0,64+0,63}{3}=\frac{1,91}{3}=0,6366\ldots\approx 0,6367
\bar{x}_3=\frac{0,64+0,65+0,65}{3}=\frac{1,94}{3}=0,6466\ldots\approx 0,6467
\bar{x}_4=\frac{0,62+0,65+0,64}{3}=\frac{1,91}{3}=0,6366\ldots\approx 0,6367
\bar{x}_5=\frac{0,67+0,67+0,64}{3}=\frac{1,98}{3}=0,6600

Passo 3

Definição e cálculo da média geral das médias ( \bar{\bar{x}}): é a média das \bar{x}_i, ou equivalentemente a média de todas as medições:
\bar{\bar{x}}=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\bar{x}_i,
onde k=5 é o número de subgrupos.
Cálculo:
\bar{\bar{x}}=\frac{0,6433+0,6367+0,6467+0,6367+0,6600}{5}=\frac{3,2234}{5}=0,644666\ldots\approx 0,6447.

Passo 4

Definição e cálculo da amplitude (range) de cada subgrupo: a amplitude do subgrupo i é
R_i=\max_j x_{ij}-\min_j x_{ij}.
Vou calcular R_i para cada teste (peguei os máximos e mínimos das linhas da tabela).
Cálculos:
R_1=0,66-0,63=0,03
R_2=0,64-0,63=0,01
R_3=0,65-0,64=0,01
R_4=0,65-0,62=0,03
R_5=0,67-0,64=0,03

Passo 5

Definição e cálculo da média das amplitudes ( \bar{R}): é a média dos R_i,
\bar{R}=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} R_i.
Cálculo:
\bar{R}=\frac{0,03+0,01+0,01+0,03+0,03}{5}=\frac{0,11}{5}=0,022.

Passo 6

Explicação das constantes de controle e fórmulas dos limites:
  • Para o gráfico \bar{x} (médias) usamos limites
\text{UCL}_{\bar{x}}=\bar{\bar{x}}+A_2\bar{R},\qquad \text{LCL}_{\bar{x}}=\bar{\bar{x}}-A_2\bar{R},
onde A_2 é uma constante que depende do tamanho do subgrupo n. Para n=3 usamos A_2=1,023 (valor padrão em tabelas de controle).
  • Para o gráfico R (amplitude) usamos
\text{UCL}_R=D_4\bar{R},\qquad \text{LCL}_R=D_3\bar{R},
onde D_3 e D_4 são constantes que dependem de n. Para n=3 temos D_3=0 e D_4=2,574.
Observação curta: essas constantes são tabeladas em livros de controle estatístico de qualidade; estou usando os valores padrão para n=3.

Passo 7

Cálculo dos limites para o gráfico \bar{x}:
A_2\bar{R}=1,023\times 0,022=0,022506\approx 0,02251.
\text{UCL}_{\bar{x}}=0,6447+0,022506=0,667206\approx 0,6672
\text{LCL}_{\bar{x}}=0,6447-0,022506=0,622194\approx 0,6222

Passo 8

Cálculo dos limites para o gráfico R:
\text{UCL}_R=D_4\bar{R}=2,574\times 0,022=0,056628\approx 0,0566
\text{LCL}_R=D_3\bar{R}=0\times 0,022=0.

Passo 9

Verificação das médias dos subgrupos em relação aos limites \bar{x}:
As médias calculadas foram
\bar{x}_1=0,6433,\;\bar{x}_2=0,6367,\;\bar{x}_3=0,6467,\;\bar{x}_4=0,6367,\;\bar{x}_5=0,6600.
Comparando com os limites
\text{LCL}_{\bar{x}}=0,6222\quad\text{e}\quad \text{UCL}_{\bar{x}}=0,6672,
vemos que todas as \bar{x}_i estão entre 0,6222 e 0,6672. Logo nenhuma média está fora dos limites.

Passo 10

Verificação das amplitudes em relação aos limites R:
As amplitudes foram
R_1=0,03,\;R_2=0,01,\;R_3=0,01,\;R_4=0,03,\;R_5=0,03.
Comparando com
\text{LCL}_R=0\quad\text{e}\quad \text{UCL}_R=0,0566,
vemos que todas as R_i estão dentro do intervalo [0,0,0566]. Logo nenhuma amplitude está fora dos limites.

Passo 11

Checagem de sinais adicionais de instabilidade (regras de corrida/tendência) — explicação rápida: além de pontos fora de limites, procuramos tendências (vários pontos crescentes/decrescentes) ou muitas amostras seguidas de um lado da média. Observando as \bar{x}_i:
0,6433,\;0,6367,\;0,6467,\;0,6367,\;0,6600
não há sequência longa crescente/decrescente nem um número excessivo de pontos consecutivos de um mesmo lado que caracterize violação de regras simples (por exemplo, 8 pontos consecutivos de um lado). Assim não há indicação de padrão anômalo.

Passo 12

Interpretação final: tanto o gráfico \bar{x} quanto o gráfico R mostram todos os pontos dentro dos seus respectivos limites de controle e não há padrões de instabilidade evidentes. Portanto o processo, segundo esses critérios, está em controle estatístico.

Resposta

Sim — o processo está dentro dos limites de controle.
\bar{\bar{x}}=0,6447,\;\text{LCL}_{\bar{x}}=0,6222,\;\text{UCL}_{\bar{x}}=0,6672,\;\bar{R}=0,022,\;\text{LCL}_R=0,\;\text{UCL}_R=0,0566

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