EXEMPLO4. Dada a função: f(x)=\left\{\begin{array}{c}c x^{2} \text {, se } 1 \leq x \leq 2 \\\ c x, \text { se } 2<x<3 \\\\ 0, \text { p.o.v }\end{array}\right.
a) Determine o valor da constante " c ".
\left.\begin{array}{l} \int_{1}^{2} c x^{2} d x+\int_{2}^{3} c x d x=1 \\\ \left.\frac{c}{3} x^{3}\right|_{1} ^{2}+\left.\frac{c}{2} x^{2}\right|_{2} ^{3}=1 \\\ \frac{c}{3}\left[\left(2^{3}-1^{3}\right]+\frac{c}{2}\left[3^{2}-2^{2}\right]=1\right. \\\ \frac{+c}{3}+\frac{3 c}{2}=1 \end{array}\right\} \frac{14 c+15 c=6}{6}=29 c=6=c=\frac{6}{29}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o valor da constante c para a função
f(x)=\left\{\begin{array}{l} c x^{2},\\ \text{se }1\le x\le 2,\\[4pt] c x,\\ \text{se }2<x<3,\\[4pt] 0,\\ \text{para outros }x, \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
\begin{array}{l} \text{1) A função é nula fora de }[1,3];\\[4pt] \text{2) Para que }f\text{ seja uma densidade (ou para normalizar), a área total sob }f\text{ deve ser }1. \end{array}çãéá]

Passo 2

Montamos a equação que garante que a área total sob a curva (soma das áreas nos intervalos onde f é não-nula) vale 1:
\int_{1}^{2} c x^{2}\,dx+\int_{2}^{3} c x\,dx=1.
Essa é a equação que vamos resolver para c.

Passo 3

Uso a propriedade de factor constante do integral: um multiplicador constante pode sair do integral:
c\left(\int_{1}^{2} x^{2}\,dx+\int_{2}^{3} x\,dx\right)=1.
Explicando rápido: \int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx quando a é constante.

Passo 4

Vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo: para funções polinomiais a antiderivada é dada por aumentar o expoente em 1 e dividir por esse novo expoente. Em particular:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C,\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
Para integrais definidas \int_{a}^{b} g(x)\,dx=[G(x)]_{a}^{b}=G(b)-G(a), onde G é antiderivada de g.

Passo 5

Calculo a primeira integral usando a antiderivada \frac{x^{3}}{3}:
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.

Passo 6

Calculo a segunda integral usando a antiderivada \frac{x^{2}}{2}:
\int_{2}^{3} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{3}=\frac{3^{2}}{2}-\frac{2^{2}}{2}=\frac{9}{2}-\frac{4}{2}=\frac{5}{2}.

Passo 7

Substituo os resultados das integrais na equação do Passo 3:
c\left(\frac{7}{3}+\frac{5}{2}\right)=1.
Faço a soma das frações com denominador comum 6:
\frac{7}{3}=\frac{14}{6},\qquad \frac{5}{2}=\frac{15}{6}\quad\Rightarrow\quad \frac{7}{3}+\frac{5}{2}=\frac{14}{6}+\frac{15}{6}=\frac{29}{6}.
Logo a equação fica
c\cdot\frac{29}{6}=1.

Passo 8

Isolo c dividindo ambos os lados por \frac{29}{6}:
c=\frac{1}{\dfrac{29}{6}}.
Verificação rápida: \left(\dfrac{1}{29/6}\right)\cdot\dfrac{29}{6}=1, então a solução está coerente.

Resposta

c=\dfrac{6}{29}

Exercícios relacionados