EXEMPLO4. Dada a função: f(x)=\left\{\begin{array}{c}c x^{2} \text {, se } 1 \leq x \leq 2 \\\ c x, \text { se } 2<x<3 \\\\ 0, \text { p.o.v }\end{array}\right.
a) Determine o valor da constante " c ".
\left.\begin{array}{l} \int_{1}^{2} c x^{2} d x+\int_{2}^{3} c x d x=1 \\\ \left.\frac{c}{3} x^{3}\right|_{1} ^{2}+\left.\frac{c}{2} x^{2}\right|_{2} ^{3}=1 \\\ \frac{c}{3}\left[\left(2^{3}-1^{3}\right]+\frac{c}{2}\left[3^{2}-2^{2}\right]=1\right. \\\ \frac{+c}{3}+\frac{3 c}{2}=1 \end{array}\right\} \frac{14 c+15 c=6}{6}=29 c=6=c=\frac{6}{29}
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o valor da constante c para a função
f(x)=\left\{\begin{array}{l} c x^{2},\\ \text{se }1\le x\le 2,\\[4pt] c x,\\ \text{se }2<x<3,\\[4pt] 0,\\ \text{para outros }x, \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
\begin{array}{l} \text{1) A função é nula fora de }[1,3];\\[4pt] \text{2) Para que }f\text{ seja uma densidade (ou para normalizar), a área total sob }f\text{ deve ser }1. \end{array}çãéá]
Passo 2
Montamos a equação que garante que a área total sob a curva (soma das áreas nos intervalos onde f é não-nula) vale 1:
\int_{1}^{2} c x^{2}\,dx+\int_{2}^{3} c x\,dx=1.
Essa é a equação que vamos resolver para c.
Passo 3
Uso a propriedade de factor constante do integral: um multiplicador constante pode sair do integral:
Explicando rápido: \int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx quando a é constante.
Passo 4
Vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo: para funções polinomiais a antiderivada é dada por aumentar o expoente em 1 e dividir por esse novo expoente. Em particular: