Exemplos - Aplicação do teorema fundamental do cálculo
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen} x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen} x \, dx.
Informações fornecidas:
  • A função integranda é \operatorname{sen} x.
  • Os limites de integração são a=0 e b=\pi/2.
  • O objetivo é obter o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Antiderivada (primitiva): uma função F(x) é antiderivada de f(x) se F'(x)=f(x). Escrever F é útil porque podemos recuperar a integral definida de f avaliando F nos extremos.
  • Teorema Fundamental do Cálculo (parte prática que usaremos): se F é uma antiderivada contínua de f em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Isto significa que, para calcular uma integral definida, basta encontrar uma antiderivada e subtrair suas avaliações nos limites.
  • Exemplo de verificação simples: se afirmarmos que F(x)=-\cos x é antiderivada de \operatorname{sen} x, devemos checar que F'(x)=\operatorname{sen} x. Vamos fazer essa checagem no próximo passo.

Passo 3

Encontre e verifique a antiderivada de \operatorname{sen} x:
  • Proposta: F(x) = -\cos x.
  • Verificação (derivada): derivando F,
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr) = -\bigl(-\operatorname{sen} x\bigr) = \operatorname{sen} x,
logo F'(x)=\operatorname{sen} x. Portanto F(x)=-\cos x é uma antiderivada válida de \operatorname{sen} x.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com F(x)=-\cos x:
\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen} x \, dx = F\bigl(\pi/2\bigr) - F(0) = \bigl(-\cos(\pi/2)\bigr) - \bigl(-\cos 0\bigr).

Passo 5

Calcular os cossenos nos pontos dados (lembrete sobre valores do círculo trigonométrico):
  • \cos 0 = 1 porque no ângulo zero o ponto no círculo unitário é (1,0).
  • \cos(\pi/2) = 0 porque em \pi/2 o ponto é (0,1).
    Substituindo:
\bigl(-\cos(\pi/2)\bigr) - \bigl(-\cos 0\bigr) = \bigl(-0\bigr) - \bigl(-1\bigr) = 1.

Passo 6

Interpretação e dica para a prova:
  • O valor da integral \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen} x\,dx representa a área sob a curva y=\operatorname{sen} x entre x=0 e x=\pi/2; esse valor é 1.
  • Dica prática: lembrar que \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x + C e checar sempre derivando a primitiva para evitar erro de sinal.

Resposta

1

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