Exemplos - Aplicação do teorema fundamental do cálculo
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - O objetivo é obter o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Antiderivada (primitiva): uma função
é antiderivada de se . Escrever é útil porque podemos recuperar a integral definida de avaliando nos extremos. - Teorema Fundamental do Cálculo (parte prática que usaremos): se
é uma antiderivada contínua de em , então
Isto significa que, para calcular uma integral definida, basta encontrar uma antiderivada e subtrair suas avaliações nos limites.
- Exemplo de verificação simples: se afirmarmos que
é antiderivada de , devemos checar que . Vamos fazer essa checagem no próximo passo.
Passo 3
Encontre e verifique a antiderivada de
:
- Proposta:
. - Verificação (derivada): derivando
,
logo
. Portanto
é uma antiderivada válida de
.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com
:
Passo 5
Calcular os cossenos nos pontos dados (lembrete sobre valores do círculo trigonométrico):
-
porque no ângulo zero o ponto no círculo unitário é . -
porque em o ponto é .
Substituindo:
Passo 6
Interpretação e dica para a prova:
- O valor da integral
representa a área sob a curva entre e ; esse valor é . - Dica prática: lembrar que
e checar sempre derivando a primitiva para evitar erro de sinal.