Verifique se as EDOs de
ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
com as funções (peguei estas expressões do enunciado)
O que o enunciado pede:
- Verificar se a EDO é exata.
- Se não for exata, encontrar um fator integrante que a torne exata (se possível) e então resolver a EDO (achar a solução geral).
Passo 2
Lembrando a definição: a equação
é exata se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático é comparar as derivadas parciais mistas:
Calculo as derivadas (mostrando cada passo):
Como
em geral, a equação NÃO é exata.
Passo 3
Procuro um fator integrante simples. Primeiro tento um fator integrante
que dependa só de
. Há um teste: se
é função apenas de
, então existe
dado por
.
Calculo essa razão (faço as contas devagar para ficar claro):
Importantíssimo: o fator
cancelou, então a razão é realmente função só de
. Logo existe um fator integrante
.
Passo 4
Agora obtenho
integrando:
Lembrando que
. Portanto
e
Em geral podemos escolher a versão sem o valor absoluto (absorvendo sinais na constante): tomo
(Observação prática para provas: é comum escolher
, cuidando do domínio onde
.)
Passo 5
Multiplico toda a equação original por
. Isso dá:
Definindo as novas funções
verifico a exatidão:
logo
. A equação multiplicada por
é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe
tal que
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função de
a determinar.
Passo 7
Agora uso a condição
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Igualando a
:
Integro em relação a
:
onde
é constante. Posso absorver
na constante final da solução. Então a função potencial é
Passo 8
A solução geral implícita (constante de integração
) vem de
isto é
Podemos reescrever de forma compacta, por exemplo:
ou ainda
onde
é outra constante arbitrária positiva (atenção aos sinais e domínio: aqui
deve ser não nulo e
no domínio escolhido).