Verifique se as EDOs de 1^{\mathrm{O}} ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
\cos (x) d x+\left(1+\frac{2}{y}\right) \operatorname{sen}(x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com as funções (peguei estas expressões do enunciado)
M(x,y)=\cos(x), \qquad N(x,y)=\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\sin(x).
O que o enunciado pede:
  • Verificar se a EDO é exata.
  • Se não for exata, encontrar um fator integrante que a torne exata (se possível) e então resolver a EDO (achar a solução geral).

Passo 2

Lembrando a definição: a equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N.
Um teste prático é comparar as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial M}{\partial y}\stackrel{?}{=}\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas (mostrando cada passo):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\cos(x)=0,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\sin(x)\Bigr) =\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\frac{d}{dx}\sin(x)=\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\cos(x).
Como 0\neq\bigl(1+\tfrac{2}{y}\bigr)\cos(x) em geral, a equação NÃO é exata.

Passo 3

Procuro um fator integrante simples. Primeiro tento um fator integrante \mu(x) que dependa só de x. Há um teste: se
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
é função apenas de x, então existe \mu(x) dado por \mu(x)=\exp\!\biggl(\int \text{essa função}\,dx\biggr)çã.
Calculo essa razão (faço as contas devagar para ficar claro):
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{0-\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\cos(x)}{\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\sin(x)} =\frac{-\cos(x)}{\sin(x)}=-\cot(x).
Importantíssimo: o fator \bigl(1+\tfrac{2}{y}\bigr) cancelou, então a razão é realmente função só de x. Logo existe um fator integrante \mu(x).

Passo 4

Agora obtenho \mu(x) integrando:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\cot(x)\,dx\right).
Lembrando que \int \cot(x)\,dx=\ln|\sin(x)|. Portanto
\int -\cot(x)\,dx=-\ln|\sin(x)|,
e
\mu(x)=\exp\bigl(-\ln|\sin(x)|\bigr)=\frac{1}{|\sin(x)|}.
Em geral podemos escolher a versão sem o valor absoluto (absorvendo sinais na constante): tomo
\mu(x)=\frac{1}{\sin(x)}.
(Observação prática para provas: é comum escolher \mu(x)=1/\sin x, cuidando do domínio onde \sin x\neq0.)

Passo 5

Multiplico toda a equação original por \mu(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}. Isso dá:
\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\,dx + \Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\,dy = 0.
Definindo as novas funções
\widetilde{M}(x,y)=\cot(x),\qquad \widetilde{N}(x,y)=1+\frac{2}{y},
verifico a exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=0,
logo \dfrac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\dfrac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}. A equação multiplicada por \mu(x) é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y)=\cot(x), \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y)=1+\frac{2}{y}.
Integro \partial \psi/\partial x=\cot(x) em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int \cot(x)\,dx = \ln|\sin(x)| + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 7

Agora uso a condição \partial \psi/\partial y=\widetilde{N}(x,y). Calculo \partial \psi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=h'(y).
Igualando a \widetilde{N}:
h'(y)=1+\frac{2}{y}.
Integro em relação a y:
h(y)=\int\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\,dy = y + 2\ln|y| + C_0,
onde C_0 é constante. Posso absorver C_0 na constante final da solução. Então a função potencial é
\psi(x,y)=\ln|\sin(x)| + y + 2\ln|y|.

Passo 8

A solução geral implícita (constante de integração C) vem de
\psi(x,y)=C,
isto é
\ln|\sin(x)| + y + 2\ln|y| = C.
Podemos reescrever de forma compacta, por exemplo:
\ln\!\bigl(|\sin(x)|\,y^{2}\bigr) + y = C,
ou ainda
|\sin(x)|\,y^{2} \,e^{y} = C_1,
onde C_1=e^{C} é outra constante arbitrária positiva (atenção aos sinais e domínio: aqui y deve ser não nulo e \sin x\neq0 no domínio escolhido).

Resposta

\ln|\sin(x)| + y + 2\ln|y| = C

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