Dê exemplos de dois conjuntos
e
que satisfaçam
e
, e ainda:
e
são não-disjuntos, isto é,
;
Passo 1
O enunciado pede exemplos de dois conjuntos
e
tais que:
-
, -
, - e
(ou seja, têm interseção não-vazia).
Vou listar claramente o que isso significa e quais condições precisamos satisfazer (sem resolver ainda): as duas primeiras são desigualdades entre supremo e ínfimo dos conjuntos; a terceira exige que exista pelo menos um elemento que pertença a ambos os conjuntos.
Passo 2
Explicando os conceitos que vou usar (aulas rápidas e diretas):
-
(supremo de ) é o menor número que é maior ou igual a todo elemento de . Formalmente: se (i) para todo e (ii) para todo existe com . Ou seja, é o menor limite superior. -
(ínfimo de ) é o maior número que é menor ou igual a todo elemento de . Formalmente: se (i) para todo e (ii) para todo existe com . Ou seja, é o maior limite inferior.
Observação prática (útil na prova): para intervalos usuais sabemos imediatamente supremo e ínfimo:
- se
então e (mesmo que não pertençam ao intervalo); - se
então e (e pertencem ao intervalo).
Passo 3
Vou propor um par de conjuntos simples que costumam resolver esse tipo de pedido: escolho intervalos abertos sobre
Esses conjuntos são fáceis de manipular e têm interseção não-vazia (é evidente que os dois overlapam). Agora vou verificar as três condições pedidas, passo a passo.
Passo 4
Calcular
e
e mostrar
.
Primeiro, usando a observação prática:
Agora comparar:
Portanto a primeira desigualdade
está satisfeita.
(Se quiser justificar formalmente que
: 2 é um majorante de
e para todo
existe
— por exemplo
— tal que
. Assim 2 é o menor majorante.)
Passo 5
Calcular
e
e mostrar
.
Usando novamente a observação prática:
Comparando:
Portanto a segunda desigualdade
também está satisfeita.
(Justificação formal: 3 é o menor majorante de
; 0 é o maior minorante de
.)
Passo 6
Mostrar que
.
Os intervalos propostos sobrepõem-se; por exemplo, o número
(um elemento escolhido explicitamente) pertence a ambos:
Logo
, portanto
.
Passo 7
Comentário final e variações (dica de prova): qualquer par de intervalos que se sobreponha e cuja extensão em cada lado seja tal que os extremos superiores e inferiores satisfaçam as desigualdades funciona. Exemplos alternativos igualmente válidos:
e
; ou
e
(aqui
e
, e a interseção é
). Na prova, escolher intervalos é a forma mais direta porque supremo e ínfimo ficam evidentes.