Dê exemplos de dois conjuntos A e B que satisfaçam \sup A>\inf B e \sup B>\inf A, e ainda:
A e B são não-disjuntos, isto é, A \cap B \neq \emptyset;

Passo 1

O enunciado pede exemplos de dois conjuntos A e B tais que:
  • \sup A > \inf B,
  • \sup B > \inf A,
  • e A \cap B \neq \emptyset (ou seja, têm interseção não-vazia).
Vou listar claramente o que isso significa e quais condições precisamos satisfazer (sem resolver ainda): as duas primeiras são desigualdades entre supremo e ínfimo dos conjuntos; a terceira exige que exista pelo menos um elemento que pertença a ambos os conjuntos.

Passo 2

Explicando os conceitos que vou usar (aulas rápidas e diretas):
  • \sup S (supremo de S) é o menor número que é maior ou igual a todo elemento de S. Formalmente: u=\sup S se (i) x\le u para todo x\in S e (ii) para todo v<u existe x\in S com x>v. Ou seja, é o menor limite superior.
  • \inf S (ínfimo de S) é o maior número que é menor ou igual a todo elemento de S. Formalmente: m=\inf S se (i) x\ge m para todo x\in S e (ii) para todo w>m existe x\in S com x<w. Ou seja, é o maior limite inferior.
Observação prática (útil na prova): para intervalos usuais sabemos imediatamente supremo e ínfimo:
  • se I=(a,b) então \inf I = a e \sup I = b (mesmo que a,b não pertençam ao intervalo);
  • se I=[a,b] então \inf I = a e \sup I = b (e a,b pertencem ao intervalo).

Passo 3

Vou propor um par de conjuntos simples que costumam resolver esse tipo de pedido: escolho intervalos abertos sobre \mathbb{R}
A = (0,2),\qquad B = (1,3).
Esses conjuntos são fáceis de manipular e têm interseção não-vazia (é evidente que os dois overlapam). Agora vou verificar as três condições pedidas, passo a passo.

Passo 4

Calcular \sup A e \inf B e mostrar \sup A > \inf B.
Primeiro, usando a observação prática:
\sup A = 2,\qquad \inf B = 1.
Agora comparar:
\sup A = 2 > 1 = \inf B.
Portanto a primeira desigualdade \sup A > \inf B está satisfeita.
(Se quiser justificar formalmente que \sup A=2: 2 é um majorante de A e para todo y<2 existe x\in A — por exemplo x=(y+2)/2 — tal que x>y. Assim 2 é o menor majorante.)

Passo 5

Calcular \sup B e \inf A e mostrar \sup B > \inf A.
Usando novamente a observação prática:
\sup B = 3,\qquad \inf A = 0.
Comparando:
\sup B = 3 > 0 = \inf A.
Portanto a segunda desigualdade \sup B > \inf A também está satisfeita.
(Justificação formal: 3 é o menor majorante de B; 0 é o maior minorante de A.)

Passo 6

Mostrar que A\cap B\neq\emptyset.
Os intervalos propostos sobrepõem-se; por exemplo, o número \,1,5 (um elemento escolhido explicitamente) pertence a ambos:
1,5\in A\quad\text{pois}\quad 0<1,5<2,
1,5\in B\quad\text{pois}\quad 1<1,5<3.
Logo 1,5\in A\cap B, portanto A\cap B\neq\emptyset.

Passo 7

Comentário final e variações (dica de prova): qualquer par de intervalos que se sobreponha e cuja extensão em cada lado seja tal que os extremos superiores e inferiores satisfaçam as desigualdades funciona. Exemplos alternativos igualmente válidos: A=[0,2] e B=[1,3]; ou A=(0,5) e B=(3,8) (aqui \sup A=5>\inf B=3 e \sup B=8>\inf A=0, e a interseção é (3,5)). Na prova, escolher intervalos é a forma mais direta porque supremo e ínfimo ficam evidentes.

Resposta

A=(0,2),\; B=(1,3)

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