Dê exemplos de dois conjuntos A e B que satisfaçam \sup A>\inf B e \sup B>\inf A, e ainda:
A e B são disjuntos, isto é, A \cap B=\emptyset;

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar dois conjuntos A e B tais que
  • \sup A > \inf B,
  • \sup B > \inf A,
  • A \cap B = \emptyset (são disjuntos).
Informações relevantes que temos de satisfazer: as duas desigualdades entre supremum e ínfimo devem ser estritas e os conjuntos não podem ter elementos em comum. Nada mais é dado; posso escolher conjuntos concretos (por exemplo, conjuntos numéricos) que cumpram essas condições.

Passo 2

Vou propor conjuntos simples construídos a partir de sequências que se aproximam de um mesmo ponto por cima e por baixo, mas sem incluí-lo em ambos os conjuntos, e adiciono pontos distintos para garantir ínfimo diferente. Os conjuntos escolhidos são:
A = \{0\}\cup\{\,2+\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\},
B = \{1\}\cup\{\,2-\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\}.
Vou agora explicar e calcular \inf e \sup desses conjuntos e verificar a disjunção.

Passo 3

Lembrete rápido (definições e como vou usá-las).
  • \inf X (ínfimo de X) é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de X. Se o mínimo existe (um elemento mais pequeno do conjunto), então \inf X é esse mínimo.
  • \sup X (supremo de X) é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de X. Se o máximo existe (um elemento maior do conjunto), então \sup X é esse máximo.
Para os conjuntos que escolhi, há elementos isolados ( 0 e 1) e duas sequências:
\text{em }A:\quad 2+\tfrac{1}{1},\,2+\tfrac{1}{2},\,2+\tfrac{1}{3},\dots
\text{em }B:\quad 2-\tfrac{1}{1},\,2-\tfrac{1}{2},\,2-\tfrac{1}{3},\dots
Observações sobre essas sequências:
  • A sequência \bigl(2+\tfrac{1}{n}\bigr) tem maior termo quando n=1, que é 2+\tfrac{1}{1}=3, e tende para 2 quando n\to\infty vindo de cima (valores sempre >2).
  • A sequência \bigl(2-\tfrac{1}{n}\bigr) tem menor termo quando n=1, que é 2-\tfrac{1}{1}=1, e tende para 2 quando n\to\infty vindo de baixo (valores sempre <2).

Passo 4

Cálculo de \inf e \sup de cada conjunto.
Para A:
  • O conjunto A contém o elemento 0. Todos os outros elementos de A são 2+\tfrac{1}{n}, que são maiores que 2. Logo 0 é o menor elemento de A. Portanto
\inf A = 0.
  • O maior elemento de A ocorre em n=1 na sequência 2+\tfrac{1}{n}, ou seja 3. Assim existe máximo e
\sup A = 3.
Para B:
  • O conjunto B contém o elemento 1. Todos os outros elementos de B são da forma 2-\tfrac{1}{n}, que são sempre \ge 1 e para n=1 igualam 1. Assim 1 é o menor elemento de B. Portanto
\inf B = 1.
  • A sequência 2-\tfrac{1}{n} aumenta com n e tende para 2, mas 2 não pertence a B. Assim o supremo de B é o limite superior dessa sequência:
\sup B = 2.

Passo 5

Verificação das desigualdades exigidas e da disjunção.
  • Verifico \sup A > \inf B:
\sup A = 3,\qquad \inf B = 1,\qquad 3 > 1,
logo \sup A > \inf B vale.
  • Verifico \sup B > \inf A:
\sup B = 2,\qquad \inf A = 0,\qquad 2 > 0,
logo \sup B > \inf A vale.
  • Verifico A\cap B=\emptyset:
    • Todo elemento de A que não é 0 tem a forma 2+\tfrac{1}{n}, portanto é maior que 2.
    • Todo elemento de B é \le 2 (na verdade todos são \le 2-\tfrac{1}{n}<2 ou igual a 1 para o caso n=1); o maior limite é 2, mas 2\notin B.
    • Além disso, 0\notin B porque todos os elementos de B são \ge 1.
    • Portanto não existe elemento comum entre A e B; isto é, A\cap B=\emptyset.
Assim os conjuntos escolhidos satisfazem todas as condições pedidas.

Resposta

A=\{0\}\cup\{\,2+\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\}
B=\{1\}\cup\{\,2-\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\,\}

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