Dê exemplos de dois conjuntos
e
que satisfaçam
e
, e ainda:
e
são disjuntos, isto é,
;
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar dois conjuntos
e
tais que
-
, -
, -
(são disjuntos).
Informações relevantes que temos de satisfazer: as duas desigualdades entre supremum e ínfimo devem ser estritas e os conjuntos não podem ter elementos em comum. Nada mais é dado; posso escolher conjuntos concretos (por exemplo, conjuntos numéricos) que cumpram essas condições.
Passo 2
Vou propor conjuntos simples construídos a partir de sequências que se aproximam de um mesmo ponto por cima e por baixo, mas sem incluí-lo em ambos os conjuntos, e adiciono pontos distintos para garantir ínfimo diferente. Os conjuntos escolhidos são:
Vou agora explicar e calcular
e
desses conjuntos e verificar a disjunção.
Passo 3
Lembrete rápido (definições e como vou usá-las).
-
(ínfimo de ) é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de . Se o mínimo existe (um elemento mais pequeno do conjunto), então é esse mínimo. -
(supremo de ) é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Se o máximo existe (um elemento maior do conjunto), então é esse máximo.
Para os conjuntos que escolhi, há elementos isolados (
e
) e duas sequências:
Observações sobre essas sequências:
- A sequência
tem maior termo quando , que é , e tende para quando vindo de cima (valores sempre ). - A sequência
tem menor termo quando , que é , e tende para quando vindo de baixo (valores sempre ).
Passo 4
Cálculo de
e
de cada conjunto.
Para
:
- O conjunto
contém o elemento . Todos os outros elementos de são , que são maiores que . Logo é o menor elemento de . Portanto
- O maior elemento de
ocorre em na sequência , ou seja . Assim existe máximo e
Para
:
- O conjunto
contém o elemento . Todos os outros elementos de são da forma , que são sempre e para igualam . Assim é o menor elemento de . Portanto
- A sequência
aumenta com e tende para , mas não pertence a . Assim o supremo de é o limite superior dessa sequência:
Passo 5
Verificação das desigualdades exigidas e da disjunção.
- Verifico
:
logo
vale.
- Verifico
:
logo
vale.
- Verifico
: - Todo elemento de
que não é tem a forma , portanto é maior que . - Todo elemento de
é (na verdade todos são ou igual a para o caso ); o maior limite é , mas . - Além disso,
porque todos os elementos de são . - Portanto não existe elemento comum entre
e ; isto é, .
- Todo elemento de
Assim os conjuntos escolhidos satisfazem todas as condições pedidas.