Sejam
e
dois subconjuntos de
. Prove que, se
, então
e
são disjuntos.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
-
e são subconjuntos de . - Sabe-se que
.
O que se pede: provar que
e
são disjuntos, isto é, mostrar que
Passo 2
Vamos lembrar as definições (de forma simples e útil para este problema):
-
é o menor majorante de . Em particular, isso implica que, para todo ,
-
é o maior minorante de . Em particular, isso implica que, para todo ,
Observação: essas duas propriedades são as que vamos usar; a parte de “aproximar por dentro” das definições de supremo e ínfimo (existência de elementos próximos) não é necessária aqui.
Passo 3
Pegue quaisquer elementos
e
. Aplicando as desigualdades acima e usando a hipótese
, obtemos a cadeia
Daí segue que
Isso vale para quaisquer
e
: todo elemento de
é estritamente menor que todo elemento de
.
Passo 4
Agora a conclusão direta por contradição: suponha que
e
não sejam disjuntos; então existe
tal que
. Aplicando o resultado do passo anterior com
e
teríamos
o que é impossível. Logo a suposição estava errada, e não existe tal
. Portanto
Passo 5
Comentário pedagógico rápido e amistoso: a ideia central é simples —
controla valores máximos possíveis de
(por cima) e
controla valores mínimos de
(por baixo). Se o “topo” de
fica estritamente à esquerda do “fundo” de
, não há como um mesmo número pertencer a ambos. Um exemplo para fixar: se
e
, então
, logo são disjuntos. Note também que a condição
é suficiente, mas não necessária: por exemplo
e
são disjuntos embora
.