Sejam A e B dois subconjuntos de \mathbb{R}. Prove que, se \sup A<\inf B, então A e B são disjuntos.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • A e B são subconjuntos de \mathbb{R}.
  • Sabe-se que \sup A<\inf B.
O que se pede: provar que A e B são disjuntos, isto é, mostrar que
A\cap B=\emptyset.

Passo 2

Vamos lembrar as definições (de forma simples e útil para este problema):
  • \sup A é o menor majorante de A. Em particular, isso implica que, para todo a\in A,
a \le \sup A.
  • \inf B é o maior minorante de B. Em particular, isso implica que, para todo b\in B,
\inf B \le b.
Observação: essas duas propriedades são as que vamos usar; a parte de “aproximar por dentro” das definições de supremo e ínfimo (existência de elementos próximos) não é necessária aqui.

Passo 3

Pegue quaisquer elementos a\in A e b\in B. Aplicando as desigualdades acima e usando a hipótese \sup A<\inf B, obtemos a cadeia
a \le \sup A < \inf B \le b.
Daí segue que
a < b.
Isso vale para quaisquer a\in A e b\in B: todo elemento de A é estritamente menor que todo elemento de B.

Passo 4

Agora a conclusão direta por contradição: suponha que A e B não sejam disjuntos; então existe x tal que x\in A\cap B. Aplicando o resultado do passo anterior com a=x e b=x teríamos
x < x,
o que é impossível. Logo a suposição estava errada, e não existe tal x. Portanto
A\cap B=\emptyset.

Passo 5

Comentário pedagógico rápido e amistoso: a ideia central é simples — \sup A controla valores máximos possíveis de A (por cima) e \inf B controla valores mínimos de B (por baixo). Se o “topo” de A fica estritamente à esquerda do “fundo” de B, não há como um mesmo número pertencer a ambos. Um exemplo para fixar: se A=[0,1] e B=[2,3], então \sup A=1<2=\inf B, logo são disjuntos. Note também que a condição \sup A<\inf B é suficiente, mas não necessária: por exemplo A=(0,1) e B=(1,2) são disjuntos embora \sup A=\inf B=1.

Resposta

\;A\cap B=\emptyset\;

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