Exemplos: Encontre as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{x^{3}-8}{x-2} \cdot d x, x \neq 2

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x^{3}-8}{x-2}\,dx,\quad x\neq2
O conteúdo aqui é integração de função racional e a ideia é simplificar a expressão antes de integrar, usando divisão de polinômios ou fatoração.

Passo 2

Note que x^{3}-8 é uma diferença de cubos. Podemos escrever
x^{3}-2^{3}=(x-2)\,(x^{2}+2x+4).
Logo, o numerador se anula perfeitamente com o denominador.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\frac{x^{3}-8}{x-2} =\frac{(x-2)\,(x^{2}+2x+4)}{x-2} =x^{2}+2x+4.
Assim a integral fica
\int (x^{2}+2x+4)\,dx.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\quad \int 2x\,dx= x^{2},\quad \int 4\,dx=4x.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+4x+C.

Resposta

\int \frac{x^{3}-8}{x-2}\,dx =\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+4x+C.

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