Exemplos: Encontre as integrais indefinidas a seguir:
\int\left(10 x^{4}-2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de
\int\bigl(10x^{4}-2\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\,dx.
Vamos usar a linearidade da integral, a regra do poder para polinômios e a primitiva conhecida de \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\int\bigl(10x^{4}-2\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\,dx = \int 10x^{4}\,dx \;-\; 2\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 3

Para o termo polinomial, usamos a regra do poder:
\int 10x^{4}\,dx = 10\int x^{4}\,dx = 10\cdot\frac{x^{5}}{5} = 2x^{5}.

Passo 4

Para o termo trigonométrico, lembramos que \tfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x, logo
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x
e
-2\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = -2\tan x.

Passo 5

Somando as primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtemos
2x^{5} - 2\tan x + C.

Resposta

2x^{5} - 2\tan x + C

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