Exemplos: Encontre as integrais indefinidas a seguir:
\int\left(4 x^{2}+3 \operatorname{sen} x\right) \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(4x^{2}+3\operatorname{sen} x\bigr)\,dx
Aqui vamos usar a linearidade da integral (regra da soma) e, em seguida, a regra do poder para x^{2} e a integral de \operatorname{sen} x.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de separação de termos em integrais:
\int\bigl(4x^{2}+3\operatorname{sen} x\bigr)\,dx = \int 4x^{2}\,dx \;+\;\int 3\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int 4x^{2}\,dx, extraímos a constante 4 e usamos a regra do poder \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int 4x^{2}\,dx =4\int x^{2}\,dx =4\cdot\frac{x^{3}}{3} =\frac{4}{3}x^{3}.

Passo 4

Para \displaystyle \int 3\operatorname{sen} x\,dx, extraímos a constante 3 e usamos que \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x:
\int 3\operatorname{sen} x\,dx =3\int \operatorname{sen} x\,dx =3\bigl(-\cos x\bigr) =-3\cos x.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(4x^{2}+3\operatorname{sen} x\bigr)\,dx =\frac{4}{3}x^{3}-3\cos x + C.

Resposta

\frac{4}{3}x^{3}-3\cos x + C

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