Exemplos: Encontre as integrais indefinidas a seguir:
\int\left(3 t^{3}-t^{2}+5 t-7\right) \cdot d t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a integral indefinida
\int\bigl(3t^{3}-t^{2}+5t-7\bigr)\,dt.
Isto é conteúdo de cálculo integral básico, e vamos usar a regra da potência para integrar cada termo do polinômio separadamente.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em parcelas mais simples, aproveitando a linearidade:
\int\bigl(3t^{3}-t^{2}+5t-7\bigr)\,dt = \int 3t^{3}\,dt \;-\;\int t^{2}\,dt \;+\;\int 5t\,dt \;-\;\int 7\,dt.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência, que diz
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1),
e a constante pode sair da integral:
\int 3t^{3}\,dt = 3\cdot\frac{t^{4}}{4} = \frac{3}{4}t^{4},
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3},
\int 5t\,dt = 5\cdot\frac{t^{2}}{2} = \frac{5}{2}t^{2},
\int 7\,dt = 7t.

Passo 4

Agora, reunimos todos os termos e adicionamos a constante de integração C:
\int\bigl(3t^{3}-t^{2}+5t-7\bigr)\,dt = \frac{3}{4}t^{4} -\frac{1}{3}t^{3} +\frac{5}{2}t^{2} -7t + C.

Resposta

\frac{3}{4}t^{4}-\frac{1}{3}t^{3}+\frac{5}{2}t^{2}-7t+C.

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