\int_{-1}^{+1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1}\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal é integração de funções, e podemos usar tanto a observação de paridade (função ímpar) quanto uma substituição do tipo u = 1 - x^{2} para confirmar o resultado.

Passo 2

Note que a função
f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}
é ímpar, pois
f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - (-x)^{2}}} = -\,\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = -f(x).
Para uma função ímpar integrada em um intervalo simétrico [-a,a], vale
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx = 0.
Logo
\int_{-1}^{1}\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = 0.

Passo 3

Podemos confirmar com a substituição u = 1 - x^{2}. Então
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
A integral indefinida fica
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \int \frac{-\tfrac12\,du}{\sqrt{u}} = -\tfrac12\int u^{-\tfrac12}\,du = -\sqrt{u} + C = -\sqrt{1 - x^{2}} + C.
Avaliando de -1 a 1:
\Bigl[-\sqrt{1 - x^{2}}\Bigr]_{-1}^{1} = \bigl(-0\bigr) - \bigl(-0\bigr) = 0.

Resposta

0

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