Dê exemplos de:
Um isomorfismo de
em
.
Um isomorfismo de
Passo 1
O enunciado pede um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes
, denotado por
, e o espaço
. Para isso precisamos definir uma aplicação linear bijetora entre esses dois espaços, ou seja, um mapeamento que preserve soma e multiplicação por escalar e que seja invertível.
Passo 2
Definimos
da seguinte forma. Se
então
Isso equivale a “empilhar” as entradas de
em um vetor de
seguindo a ordem de linhas.
Passo 3
Vamos ver que
é linear. Para
,
e
,
que é justamente
e
Passo 4
Para ver que
é bijetora basta notar que dimensões coincidem e o núcleo é trivial. De fato, se
então
e
é a matriz zero, mostrando injetividade. Como
, segue-se que
é sobrejetora.
O inverso
é dado por
Passo 5
Uma outra opção é empilhar por colunas. Defina
O mesmo argumento de linearidade, injetividade e igualdade de dimensões mostra que
também é um isomorfismo.
Resposta
Um exemplo de isomorfismo é
O inverso é
Outra opção é
Ambas são isomorfismos entre
e
.