Dê exemplos de:
Um isomorfismo de M_{2 \times 2} em \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes 2\times2, denotado por \mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R}), e o espaço \mathbb{R}^4. Para isso precisamos definir uma aplicação linear bijetora entre esses dois espaços, ou seja, um mapeamento que preserve soma e multiplicação por escalar e que seja invertível.

Passo 2

Definimos T\colon \mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^4 da seguinte forma. Se
A = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix},
então
T(A) = (\,a,\,b,\,c,\,d\,).
Isso equivale a “empilhar” as entradas de A em um vetor de \mathbb{R}^4 seguindo a ordem de linhas.

Passo 3

Vamos ver que T é linear. Para A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, A'=\begin{pmatrix}a'&b'\c'&d'\end{pmatrix} e \lambda\in\mathbb{R},
T(A + A') = T\!\bigl(\begin{pmatrix}a+a'&b+b'\c+c'&d+d'\end{pmatrix}\bigr) = \bigl(a+a',\,b+b',\,c+c',\,d+d'\bigr)
que é justamente
(a,b,c,d) + (a',b',c',d') = T(A) + T(A')
e
T(\lambda A) = T\!\bigl(\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\lambda c & \lambda d\end{pmatrix}\bigr) = (\lambda a,\lambda b,\lambda c,\lambda d) = \lambda\,(a,b,c,d) = \lambda\,T(A).

Passo 4

Para ver que T é bijetora basta notar que dimensões coincidem e o núcleo é trivial. De fato, se T(A)=(0,0,0,0) então a=b=c=d=0 e A é a matriz zero, mostrando injetividade. Como \dim \mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R})=4=\dim\mathbb{R}^4, segue-se que T é sobrejetora.
O inverso T^{-1}\colon\mathbb{R}^4\to\mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) é dado por
T^{-1}(x_1,x_2,x_3,x_4) =\begin{pmatrix}x_1 & x_2\\\ x_3 & x_4\end{pmatrix}.

Passo 5

Uma outra opção é empilhar por colunas. Defina
S\colon\mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^4 \quad\text{por}\quad S\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) =(\,a,\,c,\,b,\,d\,).
O mesmo argumento de linearidade, injetividade e igualdade de dimensões mostra que S também é um isomorfismo.

Resposta

Um exemplo de isomorfismo é
T\colon\mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^4 \quad\text{definido por}\quad T\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) =(a,b,c,d).
O inverso é
T^{-1}(x_1,x_2,x_3,x_4) =\begin{pmatrix}x_1&x_2\x_3&x_4\end{pmatrix}.
Outra opção é
S\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) =(a,c,b,d).
Ambas são isomorfismos entre \mathrm{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) e \mathbb{R}^4.

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