Dada a transformação linear T do \mathbb{R}^{4} no \mathbb{R}^{4}, tal que T(x, y, z, t)=(x-y+z-t, x+2 z+2 t, x+4 z, x+y+5 z+3 t) :
(a) Encontre a matriz canônica de T.
(b) Obtenha uma base para o núcleo de T.
(c) Obtenha uma base para a imagem de T.
(d) Justifique os resultados dos itens anteriores pelo teorema do Núcleo e da Imagem.
(e) Obtenha equação (ou equações) para a imagem de T.
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\quad T(x,y,z,t) = (\,x - y + z - t,\;x + 2z + 2t,\;x + 4z,\;x + y + 5z + 3t\,)
(a) achar a matriz canônica de T,
(b) achar uma base do núcleo de T,
(c) achar uma base da imagem de T,
(d) justificar pelo teorema de Núcleo e Imagem,
(e) escrever equação(es) que definam a imagem de T.
Conteúdo principal: matrizes de transformações lineares, sistemas lineares, dimensão de núcleo e imagem, teorema dimensão, e equação de subespaço em \mathbb{R}^4.
Passo 2
Para obter a matriz canônica A, computamos T(e_j) para j=1,2,3,4 e colocamos esses vetores como colunas de A.
Pelo teorema do Núcleo e da Imagem em \mathbb{R}^4,
\dim\ker T + \dim\Im T = 1 + 3 = 4 = \dim\mathbb{R}^4,
confirmando a consistência dos resultados.
Passo 6
A imagem é um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^4, logo um hiperplano dado por uma única equação linear. Para achar a normal desse hiperplano, resolvemos
A^{T}n = 0,
que leva a n=(1,-1,-1,1). Assim a equação de \Im T é
(b) \displaystyle \ker T = \mathrm{span}\{(-4,-4,1,1)\}.
(c) \displaystyle \Im T = \mathrm{span}\{(1,1,1,1),\,(-1,0,0,1),\,(1,2,4,5)\}.
(d) Verificamos \dim\ker T=1, \dim\Im T=3 e 1+3=4, que é \dim\mathbb{R}^4.
(e) A imagem é o hiperplano