Seja S um subespaço de V e T: V \rightarrow W uma transformação linear. Mostre que o subconjunto T(S)=\{w \in W \mid w=T v para algum v \in S\} é um subespaço de W.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um espaço vetorial V, um subespaço S \subseteq V e uma transformação linear T\colon V \to W. Queremos mostrar que
T(S) \;=\;\{\,w\in W\mid w=T(v)\text{ para algum }v\in S\}
é um subespaço de W. Para isso, usaremos a definição de subespaço: devemos verificar que (i) 0\in T(S), (ii) T(S) é fechado sob soma e (iii) T(S) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que 0\in T(S). Como S é subespaço de V, temos 0_V\in S. Pela linearidade de T,
T(0_V)=0_W.
Logo 0_W\in T(S).

Passo 3

Mostramos a clausura em soma. Sejam w_1,w_2\in T(S). Então existem v_1,v_2\in S tais que T(v_1)=w_1 e T(v_2)=w_2. Como S é subespaço, v_1+v_2\in S. Pela linearidade de T,
T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)=w_1+w_2.
Isso mostra que w_1+w_2\in T(S).

Passo 4

Mostramos a clausura em multiplicação por escalar. Seja w\in T(S) e seja \alpha um escalar qualquer. Então existe v\in S com T(v)=w. Como S é subespaço, \alpha v\in S. Pela linearidade de T,
T(\alpha v)=\alpha\,T(v)=\alpha w.
Logo \alpha w\in T(S).

Resposta

Portanto, T(S) contém o vetor zero de W, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Assim T(S) é de fato um subespaço de W.

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