Dê exemplos de:
Um operador linear de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} que não tenha autovalores.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que não tenha autovalores reais. Vamos usar o conceito de polinômio característico e seu discriminante para garantir que não haja raízes reais.

Passo 2

Considere uma rotação no plano de ângulo \theta não múltiplo de \pi. Na base canônica, sua matriz é
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det\bigl(R(\theta)-\lambda I\bigr) = \lambda^2-2\cos\theta\,\lambda+1.

Passo 3

O discriminante desse polinômio é
\Delta = (2\cos\theta)^2-4 = 4(\cos^2\theta-1) = -4\sin^2\theta<0
sempre que \theta\notin\{0,\pi\}. Com \Delta<0, não há raízes reais e, portanto, não há autovalores reais.

Passo 4

Em particular, para \theta=\tfrac{\pi}{2} (rotação de 90^\circ), a matriz fica
A = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},
cujo polinômio característico é \lambda^2+1=0, sem soluções reais.

Resposta

Um exemplo concreto é o operador
T(x,y)=(-y,\;x),
com matriz
\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},
que não possui autovalores reais.

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