Dê exemplos de:
Um operador linear de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{4} que tenha apenas um autovalor.
Passo 1
O enunciado pede exemplos de operadores lineares T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} que tenham apenas um autovalor (com multiplicidade algébrica 4). Para isso precisamos lembrar o conceito de autovalor, caracterizado pela equação \det(T - \lambda I)=0, e mostrar matrizes cujo polinômio característico seja (\lambda-\lambda_{0})^{4}.
Passo 2
Lembrando que um escalar \lambda é autovalor de T se existir v\neq0 tal que
T(v)=\lambda\,v.
O polinômio característico de um operador em \mathbb{R}^{4} é um polinômio de grau 4. Ter apenas um autovalor significa que esse polinômio é
(\lambda-\lambda_{0})^{4}
para algum \lambda_{0}\in\mathbb{R}. Podemos ter casos diagonalizáveis e não diagonalizáveis (blocos de Jordan).
Passo 3
Exemplo 1 (caso diagonalizável trivial):
Defina
T_{1}(x)=a\,x,
ou seja, na base canônica sua matriz é
A_{1}=a\,I_{4}= \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & a & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & a & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & a \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A_{1}-\lambda I_{4})=(a-\lambda)^{4},
logo o único autovalor é \lambda_{0}=a, com multiplicidade 4, e T_{1} é completamente diagonalizável.
Passo 4
Exemplo 2 (bloco de Jordan completo, não diagonalizável):
Considere o operador nilpotente T_{2} cuja matriz na base canônica é o bloco de Jordan de ordem 4 com autovalor 0:
ou seja, bloco de Jordan 2\times2 repetido duas vezes. Novamente
\det(A_{3}-\lambda I_{4})=(2-\lambda)^{4},
então o único autovalor é \lambda_{0}=2, com dois blocos de Jordan de tamanho 2.
Resposta
Um conjunto de exemplos é:
(a) T_{1}(x)=a\,x com matriz aI_{4}, autovalor único \lambda_{0}=a.
(b) T_{2} dado pela matriz de Jordan de ordem 4 com autovalor 0, \begin{pmatrix}0&1&0&0\\\ 0&0&1&0\\\ 0&0&0&1\\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}, autovalor único \lambda_{0}=0.
(c) T_{3} dado pela matriz \begin{pmatrix}2&1&0&0\\\ 0&2&0&0\\\ 0&0&2&1\\\ 0&0&0&2\end{pmatrix}, autovalor único \lambda_{0}=2.