Dê exemplos de:
Um operador linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} que tenha 3 autovalores.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operador linear
\;T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3
que tenha três autovalores (distintos, no nosso caso). Para isso, basta escolher uma matriz diagonal com três entradas diferentes, pois em base canônica operadores diagonais têm autovalores iguais às entradas da diagonal.

Passo 2

Definimos T na base canônica por
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Ou seja, para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z) = (1\cdot x,\;2\cdot y,\;3\cdot z).

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A, resolvemos
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\\\ 0 & 2-\lambda & 0 \\\\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1,
\lambda_2 = 2 e
\lambda_3 = 3.

Resposta

Um exemplo é
T(x,y,z) = (x,\;2y,\;3z),
que em matriz canônica é
\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix}
e possui exatamente os três autovalores \;1,2,3.

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