Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A. \mathrm{J}_{3}, \mathrm{p}(\mathrm{J})=2.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
O enunciado pede exemplos de matrizes que satisfaçam as condições fornecidas. A condição é que a matriz seja uma matriz 3\times3 (escrita como \mathrm{J}_{3}) e que o posto dessa matriz seja 2, isto é \mathrm{p}(\mathrm{J})=2.
Resumindo: encontrar matrizes \mathrm{J} de tamanho 3\times3 tais que \mathrm{p}(\mathrm{J})=2.
Passo 2
O que significa \mathrm{p}(A) e como isso se relaciona com a nulidade.
Definição de posto: para uma matriz \;A\in\mathbb{R}^{3\times3}\;, o posto \mathrm{p}(A) é a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A (ou equivalentemente pelas linhas). Em palavras: quantas colunas linearmente independentes A tem.
Definição de nulidade: para \;A\in\mathbb{R}^{3\times3}\;, a nulidade N(A) é a dimensão do núcleo (kernel) de A, isto é, o número de graus de liberdade do vetor x que satisfazem A x = 0.
Teorema posto-nulidade (para transformações lineares entre espaços de dimensão 3): \mathrm{p}(A) + N(A) = 3.
Aplicando ao caso pedido: se \mathrm{p}(\mathrm{J})=2, então pela relação acima N(\mathrm{J}) = 3 - \mathrm{p}(\mathrm{J}) = 3 - 2 = 1.
Isto significa que o núcleo de \mathrm{J} tem dimensão 1: existe exatamente uma direção (um espaço unidimensional) de vetores não-nulos que são enviados para zero por \mathrm{J}.
Passo 3
Estratégia prática para construir uma matriz 3\times3 com \mathrm{p}=2.
Maneira simples: montar uma matriz cujas colunas contenham exatamente duas colunas linearmente independentes e a terceira seja combinação linear delas. Isso garante posto 2.
Outra maneira típica (e muito usada em álgebra linear) é tomar uma matriz triangular onde dois pivôs são não nulos e um pivô é zero; por exemplo uma matriz diagonal com um zero no final tem posto 2.
Em resumo: garantir que existam dois vetores-coluna independentes e que a terceira coluna dependa linearmente dessas duas.
Passo 4
Exemplo 1 (matriz diagonal simples). Construção e verificação passo a passo.
Verificação do posto: as duas primeiras colunas são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, que são linearmente independentes. A terceira coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, que não adiciona independência. Logo há exatamente duas colunas independentes, portanto \mathrm{p}(\mathrm{J}_1)=2.
Verificação da nulidade: resolver \mathrm{J}_1 x = 0 dá as equações x_1=0,\;x_2=0 e 0\cdot x_3=0, ou seja x_3 livre. Assim o núcleo é gerado pelo vetor \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} e N(\mathrm{J}_1)=1, coerente com a relação posto-nulidade.]
Passo 5
Exemplo 2 (bloco de Jordan nilpotente) — construção típica pedida em contextos com notação \mathrm{J}_3.
Uma matriz muito comum chamada bloco de Jordan nilpotente de ordem 3 é
Verificação do posto: as colunas de \mathrm{J}_2 são \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. As duas últimas são linearmente independentes, a primeira é o vetor zero, logo há duas colunas independentes; portanto \mathrm{p}(\mathrm{J}_2)=2.
Verificação da nulidade: resolver \mathrm{J}_2 x = 0 é equivalente ao sistema x_2=0,\;x_3=0, com x_1 livre. Assim o núcleo é gerado por \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e N(\mathrm{J}_2)=1.]
Passo 6
Exemplo 3 (coluna dependente explicitamente). Mais um exemplo para praticar a ideia de dependência linear.
Aqui as duas primeiras colunas são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, independentes, e a terceira coluna é a soma das duas primeiras. Logo o posto é 2.
O núcleo tem dimensão 1; explicitamente, \mathrm{J}_3 x=0 leva a x_1 + x_3 = 0,\; x_2 + x_3 = 0,\; 0=0. Resolvendo, x_3 livre e x_1=-x_3,\;x_2=-x_3, então o núcleo é gerado por \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, confirmando N(\mathrm{J}_3)=1.]