Considere as seguintes matrizes inversíveis
A=\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array} \quad B=\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \quad C=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right] .
a) Encontre a expressão de X tal que \mathrm{BAX}=\mathrm{C}.
b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (peguei as matrizes tal como escritas no enunciado):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Encontrar a expressão de X tal que B A X = C.
(b) Determinar, caso exista, a inversa da matriz X do item (a).
Vou listar as informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz de ordem 3\times3.
  • B é uma matriz de ordem 3\times3.
  • C é uma matriz de ordem 2\times3 (tem 2 linhas e 3 colunas).
  • Tanto A quanto B são informadas como invertíveis (logo são quadradas 3\times3 e com inversas).

Passo 2

Regra básica sobre dimensões e multiplicação de matrizes (aula rápida e necessária): se M é de dimensão m\times n e N é de dimensão n\times p, então o produto MN está definido e é de dimensão m\times p. Em palavras: o número de colunas de M deve ser igual ao número de linhas de N; o produto herda o número de linhas de M e o número de colunas de N.
Aplicando isso ao problema: B é 3\times3 e A é 3\times3, então BA é bem definido e tem dimensão 3\times3. Se X for uma matriz compatível com essa multiplicação, então X deve ter dimensão 3\times k para algum k, e o produto BA\cdot X terá dimensão 3\times k.
Portanto qualquer produto da forma BA\cdot X terá exatamente 3 linhas (isto é, será uma matriz com 3 linhas).

Passo 3

Comparação de dimensões com C: a matriz C dada tem dimensão 2\times3 (2 linhas, 3 colunas). Para que exista X satisfazendo
BA\,X = C
é obrigatório que BA\,X e C tenham a mesma dimensão. Mas, como explicado no passo anterior, BA\,X sempre terá 3 linhas, enquanto C tem 2 linhas. Portanto as dimensões são incompatíveis: não há como uma matriz com 3 linhas ser igual a uma matriz com 2 linhas.
Conclusão lógica: não existe nenhuma matriz X (de qualquer ordem) que satisfaça BA\,X=C com o C exatamente igual ao fornecido, porque as dimensões das duas matrizes à esquerda e à direita são diferentes.

Passo 4

Explicação adicional didática sobre a abordagem padrão (para quando as dimensões forem compatíveis): se tivéssemos C com dimensão 3\times k, como BA é invertível (produto de invertíveis é invertível), a solução única seria
X = (BA)^{-1} C.
Aqui explico o porquê dessa fórmula: se BA é invertível então existe uma matriz (BA)^{-1} tal que (BA)^{-1}(BA)=I. Multiplicando a equação BA\,X=C pela esquerda por (BA)^{-1} obtemos X=(BA)^{-1}C. Observe que para que o produto (BA)^{-1}C faça sentido é preciso que C tenha o mesmo número de linhas que (BA)^{-1} (ou seja, 3 linhas). Neste problema, isso não ocorre porque C tem 2 linhas.
Também vale notar (como curiosidade útil em prova) que (BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}. Isso é consequência da regra (PQ)^{-1}=Q^{-1}P^{-1} para matrizes invertíveis P,Q.

Passo 5

Resposta ao item (b) baseada no item (a): como não existe X que satisfaça BA\,X=C (item a), não há matriz X encontrada cujo inverso pudesse ser calculado. Logo a pergunta sobre inversa de X não se aplica — não existe X para se inverter.

Resposta

(a) Não existe matriz X tal que BA\,X=C, porque BA\,X teria 3 linhas enquanto C tem 2 linhas (incompatibilidade de dimensões).
(b) Não existe inversa de X porque não existe X que satisfaça o item (a).

Exercícios relacionados