Dê exemplos de:
Uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}, tal que \operatorname{dim} \operatorname{ker} T seja 3 .

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}
tal que \dim\ker T=3.
O conteúdo necessário envolve o conceito de núcleo de uma aplicação linear e o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), que diz
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = \dim\mathbb{R}^{3} = 3.

Passo 2

Para ter \dim\ker T=3 precisamos que \dim\operatorname{Im}T=0, pois
3 + \dim\operatorname{Im}T = 3 \quad\Longrightarrow\quad \dim\operatorname{Im}T=0.
Isso significa que todo vetor de \mathbb{R}^{3} é enviado para o vetor nulo em \mathbb{R}^{4}. Logo, T deve ser a aplicação nula.

Passo 3

Definimos
T(x,y,z) = (0,0,0,0).
É fácil ver que T é linear (soma e escalar saem do zero) e que
\ker T = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} \mid T(x,y,z)=(0,0,0,0)\} = \mathbb{R}^{3},
logo \dim\ker T=3.

Resposta

Uma possibilidade é
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}, \quad T(x,y,z) = (0,0,0,0).

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