Dê exemplos de:
Uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} que não seja uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para dar exemplos de funções
\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
que não satisfaçam as duas condições de linearidade:
  1. Aditividade:
f(u+v)=f(u)+f(v)
  1. Homogeneidade:
f(\alpha\,u)=\alpha\,f(u)
para todos u,v\in\mathbb{R}^{3} e todo \alpha\in\mathbb{R}.

Passo 2

Considere a função
f\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \quad f(x,y,z) = (\,x+1,\;y,\;z\,).
Para ver que f não é linear, note que
f(0,0,0) = (\,0+1,\,0,\,0) = (1,0,0) \neq (0,0,0),
mas toda transformação linear deve enviar o vetor zero em si mesmo, ou seja,
f(0,0,0) deveria ser (0,0,0).

Passo 3

Agora considere
g\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \quad g(x,y,z) = (\,x^{2},\;y,\;z\,).
Verificamos a falha na homogeneidade: para \alpha=2,
g(2x,2y,2z) = (\, (2x)^{2},\;2y,\;2z\, ) = (4x^{2},2y,2z),
enquanto
2\,g(x,y,z) = 2\,(x^{2},y,z) = (2x^{2},2y,2z).
Como 4x^{2}\neq 2x^{2} em geral, g não é homogênea e, portanto, não é linear.

Resposta

Como exemplos de funções \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} não lineares, podemos tomar:
(a) f(x,y,z) = (x+1,y,z)
(b) g(x,y,z) = (x^{2},y,z).

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