Dê exemplos de:
Uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}, tal que \operatorname{dim} \operatorname{Im} T seja 3 .

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4
cuja imagem tenha dimensão 3, ou seja, \dim(\operatorname{Im}T)=3.
Para isso basta escolher uma matriz 4\times3 de posto máximo (igual a 3) ou, diretamente, definir T de modo que seus três vetores-imagem sejam linearmente independentes em \mathbb{R}^4.

Passo 2

Definimos
T(x,y,z) = (x,\,y,\,z,\,0).
É claro que T é linear porque cada componente é combinação linear de x,y,z. A imagem de T é
\operatorname{Im}T =\{(x,y,z,0)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\},
que é isomorfo a \mathbb{R}^3. Como os vetores
(1,0,0,0), (0,1,0,0) e (0,0,1,0) pertencem a \operatorname{Im}T e são independentes, segue
\dim(\operatorname{Im}T)=3.

Resposta

T(x,y,z) = (x,\,y,\,z,\,0).

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