Dê exemplos, utilizando equações diferenciais, de um sistema de primeira ordem e um sistema de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem e um sistema de equações diferenciais de segunda ordem, explicando o que caracteriza cada tipo.

Passo 2

Um sistema de primeira ordem é um conjunto de equações em que todas as variáveis aparecem com derivada de ordem 1 e não há derivadas de ordem superior. Um exemplo clássico é o modelo predador–presa de Lotka–Volterra, em que x(t) é a população de presas e y(t) é a população de predadores:
\frac{dx}{dt} = \alpha\,x - \beta\,x\,y
\frac{dy}{dt} = \delta\,x\,y - \gamma\,y
Aqui \alpha,\beta,\delta,\gamma>0 são parâmetros. Como só aparecem \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt}, é um sistema de primeira ordem.

Passo 3

Já um sistema de segunda ordem normalmente envolve derivadas de segunda ordem de uma ou mais variáveis. Um exemplo simples é o oscilador massa-mola-amortecedor, para uma única coordenada x(t):
m\,\frac{d^2x}{dt^2} + c\,\frac{dx}{dt} + k\,x = 0,
onde m é a massa, c o coeficiente de amortecimento e k a constante da mola. Como aparece \tfrac{d^2x}{dt^2}, trata-se de uma equação diferencial de segunda ordem.

Resposta

Sistema de primeira ordem (exemplo Lotka–Volterra):
\frac{dx}{dt} = \alpha\,x - \beta\,x\,y,\quad \frac{dy}{dt} = \delta\,x\,y - \gamma\,y.
Sistema de segunda ordem (oscilador massa-mola-amortecedor):
m\,\frac{d^2x}{dt^2} + c\,\frac{dx}{dt} + k\,x = 0.

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