Dê exemplos, utilizando equações diferenciais, de um sistema de primeira ordem e um sistema de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem e um sistema de equações diferenciais de segunda ordem, explicando o que caracteriza cada tipo.
Passo 2
Um sistema de primeira ordem é um conjunto de equações em que todas as variáveis aparecem com derivada de ordem 1 e não há derivadas de ordem superior. Um exemplo clássico é o modelo predador–presa de Lotka–Volterra, em que
é a população de presas e
é a população de predadores:
Aqui
são parâmetros. Como só aparecem
e
, é um sistema de primeira ordem.
Passo 3
Já um sistema de segunda ordem normalmente envolve derivadas de segunda ordem de uma ou mais variáveis. Um exemplo simples é o oscilador massa-mola-amortecedor, para uma única coordenada
:
onde
é a massa,
o coeficiente de amortecimento e
a constante da mola. Como aparece
, trata-se de uma equação diferencial de segunda ordem.
Resposta
Sistema de primeira ordem (exemplo Lotka–Volterra):
Sistema de segunda ordem (oscilador massa-mola-amortecedor):