Um termômetro de mercúrio tem uma constante de tempo de 10 segundos. Se está marcando 20^{\circ} \mathrm{C} e é subitamente mergulhado em água quente a 80^{\circ} \mathrm{C}, qual será a temperatura indicada pelo termômetro depois de 10 e 20 segundos?

Passo 1

O enunciado diz que temos um termômetro de mercúrio cujo sistema térmico se comporta como um sistema de primeira ordem com constante de tempo \tau = 10 s. Inicialmente o termômetro marca 20^\circ\mathrm{C} e, no instante t=0, ele é subitamente mergulhado em um banho d’água a 80^\circ\mathrm{C}. Queremos achar a temperatura indicada pelo termômetro em t=10 s e em t=20 s. Para isso, vamos usar a lei de resfriamento/aquecimento de Newton que modela sistemas de primeira ordem.

Passo 2

A solução geral para a temperatura T(t) de um sistema de primeira ordem subitamente levado de uma condição inicial T(0) para um valor de regime permanente T_{\mathrm{env}} é
T(t) \;=\; T_{\mathrm{env}} \;+\;\bigl(T(0)-T_{\mathrm{env}}\bigr)\,e^{-t/\tau}.
Aqui temos T_{\mathrm{env}}=80^\circ\mathrm{C}, T(0)=20^\circ\mathrm{C} e \tau=10 s.

Passo 3

Para t=10 s substituímos t=10 em
T(10)=80+\bigl(20-80\bigr)e^{-10/10} =80-60\,e^{-1}.
Como e^{-1}\approx0,3679, temos
T(10)\approx80-60\cdot0,3679\approx80-22,07\approx57,93^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Para t=20 s fazemos t=20 na mesma fórmula:
T(20)=80+\bigl(20-80\bigr)e^{-20/10} =80-60\,e^{-2}.
Sabendo que e^{-2}\approx0,1353,
T(20)\approx80-60\cdot0,1353\approx80-8,12\approx71,88^\circ\mathrm{C}.

Resposta

Em 10 s: aproximadamente 57,9^\circ\mathrm{C}.
Em 20 s: aproximadamente 71,9^\circ\mathrm{C}.

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