Quando um termômetro é colocado em um líquido quente em uma temperatura \theta_{H}, a razão na qual a temperatura \theta lida no termômetro varia com o tempo é proporcional à diferença entre \theta e \theta_{H}. Qual será a forma da equação diferencial que descreve o comportamento da variação da temperatura lida pelo termômetro como o tempo e a equação de \theta com o tempo?

Passo 1

O enunciado diz que, ao mergulhar um termômetro num líquido a uma temperatura constante \theta_{H}, a velocidade de variação da leitura \theta(t) é proporcional à diferença \theta_{H}-\theta. O conteúdo é a “Lei do Resfriamento/Aquecimento de Newton” e vamos precisar montar uma equação diferencial de 1ª ordem e resolvê-la, aplicando a condição inicial \theta(0)=\theta_{0}.

Passo 2

Traduzindo “proporcional à diferença” em matemática, chamamos de k>0 a constante de proporcionalidade. A equação diferencial é
\frac{d\theta}{dt}=k\bigl(\theta_{H}-\theta\bigr).

Passo 3

Para resolver, note que é uma equação diferencial linear de 1ª ordem ou que se separa variáveis. Vou usar separação:
\frac{d\theta}{dt}=k(\theta_{H}-\theta) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\theta}{\theta_{H}-\theta}=k\,dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{d\theta}{\theta_{H}-\theta} =\int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad -\ln\bigl|\theta_{H}-\theta\bigr|=kt+C.
Reescrevendo,
\ln\bigl|\theta_{H}-\theta\bigr|=-kt+C',
\theta_{H}-\theta = A\,e^{-kt},
onde A=e^{C'}.

Passo 5

Impondo a condição inicial \theta(0)=\theta_{0}, obtemos
\theta_{H}-\theta_{0}=A\,e^{0} \quad\Longrightarrow\quad A=\theta_{H}-\theta_{0}.
Logo a solução é
\theta(t)=\theta_{H}-\bigl(\theta_{H}-\theta_{0}\bigr)e^{-kt}.

Resposta

A equação diferencial é
\frac{d\theta}{dt}=k\bigl(\theta_{H}-\theta\bigr),
e a solução com \theta(0)=\theta_{0} é
\theta(t)=\theta_{H}-\bigl(\theta_{H}-\theta_{0}\bigr)e^{-kt}.

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