Exerc. 2) Desenhar e determinar os triângulos de velocidades para a entrada e saída do rotor de uma bomba centrífuga. Sabe-se que o mesmo gira a 1470[\mathrm{rpm}], o canal é de seção constante e as pás possuem espessura desprezível. São também conhecidos:
a) diâmetro de saída é o dobro do da entrada;
b) ângulo construtivo da pá na entrada do rotor: 30^{\circ};
c) ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 38^{\circ};
d) diâmetro de entrada: 0,2[\mathrm{~m}].

Passo 1

O enunciado pede que desenhemos e determinos os triângulos de velocidades na entrada e na saída do rotor de uma bomba centrífuga. Os dados fornecidos são:
n = 1470\\ \mathrm{rpm}
d_1 = 0,20\\ \mathrm{m}\quad\text{(diâmetro de entrada — fornecido)}â
d_2 = 2\cdot d_1 = 0,40\\ \mathrm{m}\quad\text{(diâmetro de saída — dado no item (a))}âí
\beta_1 = 30^\circ\quad\text{(ângulo construtivo da pá na entrada — item (b))}âá
\beta_2 = 38^\circ\quad\text{(ângulo construtivo da pá na saída — item \text{(c)})}âáí
Condições dadas/assumidas pelo enunciado:
  • O canal é de seção constante e as pás têm espessura desprezível (isto influencia a continuidade do fluxo e os componentes radiais).
  • O enunciado não diz nada sobre pré-rodízio do fluido na entrada (pré-whirl). Em muitos exercícios práticos e em provas é normalmente assumido que a velocidade absoluta tangencial na entrada é nula, ou seja \displaystyle V_{u1}=0 (entrada radial pura). Vou adotar essa hipótese (vou justificar nas próximas etapas).
    O objetivo é obter os triângulos de velocidade (vetores U, V e W e suas componentes) na entrada ( r=r_1) e na saída ( r=r_2) do rotor.

Passo 2

Conceitos e equações fundamentais (pequena “aula” para você conseguir reproduzir na prova):
  • Definições vetoriais: \mathbf{V} = \text{velocidade absoluta do fluido},
\mathbf{W} = \text{velocidade relativa do fluido em relação à pá},çãàá
\mathbf{U} = \text{velocidade periférica da pá (apenas componente tangencial)}.éá
A relação vetorial é
\mathbf{V} = \mathbf{W} + \mathbf{U}.
Em componentes (tangencial u e radial r):
V_u = W_u + U,\qquad V_r = W_r.
  • Angulações: \beta = \text{ângulo entre }\mathbf{W}\text{ e a direção tangente (da pá)};âçãá
\alpha = \text{ângulo entre }\mathbf{V}\text{ e a direção tangente (do escoamento absoluto)}.âçã
Para \mathbf{W}:
\tan\beta = \frac{W_r}{W_u}\quad\Rightarrow\quad W_u = \frac{W_r}{\tan\beta}.
  • Continuidade (explicação intuitiva): como o enunciado diz que o canal tem seção constante, a área do canal por onde o fluido passa não varia entre entrada e saída. Para escoamento estacionário de líquido incompressível isso implica que a componente radial (ou melhor, a componente normal à tangente do canal) da velocidade absoluta é a mesma em entrada e saída do rotor. Denotando V_r essa componente: V_{r1} = V_{r2} = V_r.Observação importante (hipótese usada): vou assumir que a entrada é sem pré-whirl, ou seja \displaystyle V_{u1}=0. Essa é uma hipótese padrão quando não há orientação especial na tubulação de sucção. Com isso podemos calcular V_r a partir do ângulo \beta_1 e da velocidade de pala U_1 (detalhe nas contas).

Passo 3

Calcular velocidade angular e velocidades periféricas das pás:
  • Primeiro convertemos n para \omega: n = 1470\\ \mathrm{rpm} = \frac{1470}{60}=24{,}5\\ \mathrm{rev/s}.
\omega = 2\pi n = 2\pi\cdot 24{,}5 = 49\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 153{,}94\\ \mathrm{rad/s}.
  • Raios:
    r_1 = \frac{d_1}{2} = 0{,}10\\ \mathrm{m},\qquad r_2 = \frac{d_2}{2} = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Velocidades periféricas:
    U_1 = \omega r_1 = 49\pi\cdot 0{,}10 = 4{,}9\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 15{,}39\\ \mathrm{m/s},
U_2 = \omega r_2 = 49\pi\cdot 0{,}20 = 9{,}8\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 30{,}79\\ \mathrm{m/s}.
(Expliquei o que é cada símbolo: \omega é a velocidade angular em rad/s; U=\omega r é a velocidade periférica tangencial da pá.)

Passo 4

Determinar a componente radial V_r usando a hipótese \displaystyle V_{u1}=0.
  • Com \displaystyle V_{u1}=0 e a relação V_{u1}=W_{u1}+U_1, obtemos
    W_{u1} = -U_1.
    Usando a definição do ângulo \beta_1:
    \tan\beta_1 = \frac{W_{r1}}{W_{u1}} \quad\Rightarrow\quad W_{r1} = W_{u1}\tan\beta_1.
    Tomando módulos (pois o sinal indica direção), e lembrando que W_{r1}=V_{r1}=V_r, obtemos:
    V_r = U_1\tan\beta_1.
  • Substituindo números:
    \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}577350269,
V_r = U_1\tan 30^\circ \approx 15{,}39\cdot 0{,}57735 \approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a componente radial absoluta (mesma em entrada e saída pelo canal de seção constante) é aproximadamente \displaystyle V_r\approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Triângulo de velocidades na entrada (detalhamento passo-a-passo para você copiar na prova):
  • Dados aplicados na entrada:
    U_1\approx 15{,}39\\ \mathrm{m/s},\qquad \beta_1=30^\circ,\qquad V_{u1}=0,\qquad V_{r1}=V_r\approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s}.
  • Componentes da velocidade relativa \mathbf{W}_1:
    W_{u1} = V_{u1}-U_1 = -U_1 \approx -15{,}39\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{tangencial, sentido oposto a }U),
W_{r1} = V_{r1} \approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulos: |V_1| = \sqrt{V_{u1}^2 + V_{r1}^2} = \sqrt{0^2 + 8{,}89^2}\approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s}.
|W_1| = \sqrt{W_{u1}^2 + W_{r1}^2} = \sqrt{(-15{,}39)^2 + 8{,}89^2}\approx 17{,}78\\ \mathrm{m/s}.
  • Angulos: \alpha_1 = 90^\circ\quad(\text{por hipótese }V_{u1}=0),ó
\beta_1 = 30^\circ\quad(\text{dado}).
Interpretação prática para desenho: desenhe U_1 horizontal para a direita (representando a velocidade de pala), desenhe W_1 fazendo ângulo \beta_1=30^\circ em relação à tangente (com componente tangencial para a esquerda de magnitude 15{,}39 e componente radial para fora de magnitude 8{,}89); a soma vetorial W_1+U_1 V_1, que neste caso fica puramente radial para fora.

Passo 6

Triângulo de velocidades na saída (cálculos detalhados):
  • Dados aplicados na saída:
    U_2\approx 30{,}79\\ \mathrm{m/s},\qquad \beta_2=38^\circ,\qquad V_{r2}=V_r\approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s}.
  • Primeiro encontramos a componente tangencial da velocidade relativa \mathbf{W}_2. Usando \tan\beta_2 = \dfrac{W_{r2}}{W_{u2}} temos, em módulo,
    |W_{u2}| = \frac{W_{r2}}{\tan\beta_2} = \frac{V_r}{\tan 38^\circ}.
    Calculando numericamente:
    \tan 38^\circ \approx 0{,}7812856265,
|W_{u2}| \approx \frac{8{,}89}{0{,}78129}\approx 11{,}38\\ \mathrm{m/s}.
O sentido de W_{u2} é, como em muitos rotores de bombas (pás curvadas para trás em relação à rotação), contrário a U_2, então tomamos W_{u2}\approx -11{,}38\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente tangencial absoluta na saída:
    V_{u2} = W_{u2} + U_2 \approx -11{,}38 + 30{,}79 \approx 19{,}41\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulos das velocidades:
    |V_2| = \sqrt{V_{u2}^2 + V_{r2}^2} \approx \sqrt{19{,}41^2 + 8{,}89^2} \approx 21{,}35\\ \mathrm{m/s},
|W_2| = \sqrt{W_{u2}^2 + W_{r2}^2} \approx \sqrt{(-11{,}38)^2 + 8{,}89^2} \approx 14{,}44\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo absoluto na saída: \alpha_2 = \arctan\left(\frac{V_{r2}}{V_{u2}}\right) \approx \arctan\left(\frac{8{,}89}{19{,}41}\right)\approx 24{,}7^\circ.
Para desenhar o triângulo na saída: desenhe U_2 horizontal para a direita (magnitude 30{,}79); desenhe W_2 com \beta_2=38^\circ em relação à tangente (com componente tangencial para a esquerda de módulo 11{,}38 e radial para fora de 8{,}89); então V_2 = W_2 + U_2 resulta numa velocidade absoluta inclinada para fora com \alpha_2\approx 24{,}7^\circ e módulo 21{,}35\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Resumo das quantidades importantes (para você transpor ao desenho dos triângulos):
  • Velocidades periféricas:
    U_1\approx 15{,}39\\ \mathrm{m/s},\qquad U_2\approx 30{,}79\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente radial (mesma na entrada e saída, por seção constante):
    V_r=V_{r1}=V_{r2}\approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s}.
  • Entrada:
    V_{u1}=0,\quad V_1\approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s},\quad W_{u1}=-15{,}39\\ \mathrm{m/s},\quad W_1\approx 17{,}78\\ \mathrm{m/s},\quad \alpha_1=90^\circ,\quad \beta_1=30^\circ.
  • Saída:
    W_{u2}\approx -11{,}38\\ \mathrm{m/s},\quad V_{u2}\approx 19{,}41\\ \mathrm{m/s},
V_2\approx 21{,}35\\ \mathrm{m/s},\quad W_2\approx 14{,}44\\ \mathrm{m/s},\quad \alpha_2\approx 24{,}7^\circ,\quad \beta_2=38^\circ.
Esses valores permitem desenhar, em escala, os dois triângulos de velocidade: em cada triângulo coloque U horizontal (para a direita), desenhe W fazendo o ângulo \beta em relação à tangente (com o seu componente tangencial à esquerda se o fluxo relativo é contra a rotação), e some vetorialmente W e U para obter V.

Resposta

Entrada: U_1\approx 15{,}39\\ \mathrm{m/s};\\ V_{u1}=0;\\ V_{r1}=8{,}89\\ \mathrm{m/s};\\ V_1\approx 8{,}89\\ \mathrm{m/s};\\ W_{u1}=-15{,}39\\ \mathrm{m/s};\\ W_1\approx 17{,}78\\ \mathrm{m/s};\\ \alpha_1=90^\circ;\\ \beta_1=30^\circ
Saída: U_2\approx 30{,}79\ \mathrm{m/s};\ V_{u2}\approx 19{,}41\ \mathrm{m/s};\ V_{r2}=8{,}89\ \mathrm{m/s};\ V_2\approx 21{,}35\ \mathrm{m/s};\ W_{u2}\approx -11{,}38\ \mathrm{m/s};\ W_2\approx 14{,}44\ \mathrm{m/s};\ \alpha_2\approx 24{,}7^\circ;\ \beta_2=38^\circ.

Exercícios relacionados