13.4 O arraste,
, sobre uma placa em forma de arruela à corrente de fluido é dado por
onde
ć o diâmetro externo,
o diâmetro interno, V a velocidade do fluido,
a viscosidade do fluido e
a massa especifica do fluido. Algumas experiências devem ser realizadas em um túnel de vento para determinar o arraste. Que parâmetros adimensionais você utilizaria para organizar esses dados?
Passo 1
O enunciado pede que organizemos experimentalmente os dados do arraste sobre uma placa em forma de arruela, onde o arraste depende de
(diâmetro externo),
(diâmetro interno),
(velocidade do fluido),
(viscosidade dinâmica) e
(massa específica). Em outras palavras, temos a relação
As perguntas que precisamos responder são: quais parâmetros adimensionais usar para organizar os dados do túnel de vento? Listei as informações fornecidas:
,
,
,
,
e a grandeza de interesse
.
Passo 2
Antes de construir parâmetros adimensionais, vamos escrever as dimensões (unidades) das quantidades envolvidas em termos das dimensões fundamentais massa
, comprimento
e tempo
:
Isto é importante porque parâmetros adimensionais têm que combinar essas variáveis de modo que as potências de
se anulem.
Passo 3
Vamos usar o Teorema de Buckingham
. Temos 6 variáveis (
) e 3 dimensões fundamentais
. Pelo teorema teremos
parâmetros adimensionais independentes. Vou escolher como variáveis repetidas
,
e
(boa escolha porque têm todas as dimensões fundamentais e
é o comprimento característico). Em seguida formamos combinações do tipo
e impomos que fiquem sem dimensão.
Passo 4
Montemos o primeiro grupo adimensional
envolvendo
:
proponho
proponho
As dimensões são
Para que
seja adimensional, devemos ter os expoentes zero:
Resolvendo:
,
, e
. Logo
Este
é proporcional ao coeficiente de arraste usual (diferença apenas por um fator numérico e pela área de referência), e mede o arraste adimensionalizado pela pressão dinâmica
e pela escala de área
.
Passo 5
Agora formamos
usando
com as mesmas repetidas:
Temos dimensões
Impondo adimensionalidade:
Daí
,
,
. Assim
onde
é o número de Reynolds baseado em
. Vou comentar sobre o significado:
compara inércia do escoamento com viscosidade; regimes de fluxo (laminar/transicional/turbulento) aparecem como variação de
.
Passo 6
O terceiro parâmetro adimensional naturalmente vem da geometria: a razão entre os diâmetros. Tomamos
Isto é adimensional e descreve a forma da arruela (quanto maior
mais “aberta” a arruela). Não precisamos envolver
aqui porque é puramente geométrico.
Passo 7
Concluímos que os três parâmetros adimensionais independentes são
,
e
, e que a relação entre as variáveis pode ser escrita na forma
ou seja
ou, em forma mais familiar usando o número de Reynolds,
Na prática experimental do túnel de vento você plotaria o coeficiente de arraste adimensional
(ou o coeficiente de arraste clássico
com
área projetada) versus
para curvas paramétricas em diferentes valores de
.
Passo 8
Resumo prático e dica para experimentos: use
como comprimento de referência; reporte
e a razão geométrica
; meça
e calcule
(ou
com área projetada) para agrupar e comparar os dados de forma independente de escala.