13.4 O arraste, \mathscr{D}, sobre uma placa em forma de arruela à corrente de fluido é dado por
\mathscr{T}=f\left(d_{1}, d_{2}, V, \mu, \rho\right)
onde d_{1} ć o diâmetro externo, d_{2} \varepsilon ́ o diâmetro interno, V a velocidade do fluido, \mu a viscosidade do fluido e \rho a massa especifica do fluido. Algumas experiências devem ser realizadas em um túnel de vento para determinar o arraste. Que parâmetros adimensionais você utilizaria para organizar esses dados?

Passo 1

O enunciado pede que organizemos experimentalmente os dados do arraste sobre uma placa em forma de arruela, onde o arraste depende de d_{1} (diâmetro externo), d_{2} (diâmetro interno), V (velocidade do fluido), \mu (viscosidade dinâmica) e \rho (massa específica). Em outras palavras, temos a relação
\mathscr{D}=f\left(d_{1},d_{2},V,\mu,\rho\right).
As perguntas que precisamos responder são: quais parâmetros adimensionais usar para organizar os dados do túnel de vento? Listei as informações fornecidas: d_{1}, d_{2}, V, \mu, \rho e a grandeza de interesse \mathscr{D}.

Passo 2

Antes de construir parâmetros adimensionais, vamos escrever as dimensões (unidades) das quantidades envolvidas em termos das dimensões fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T):
[\mathscr{D}]=M\,L\,T^{-2},\quad [\rho]=M\,L^{-3},\quad [V]=L\,T^{-1},
[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1},\quad [d_{1}]=[d_{2}]=L.
Isto é importante porque parâmetros adimensionais têm que combinar essas variáveis de modo que as potências de M,L,T se anulem.

Passo 3

Vamos usar o Teorema de Buckingham \Pi. Temos 6 variáveis ( \mathscr{D},d_{1},d_{2},V,\mu,\rho) e 3 dimensões fundamentais (M,L,T). Pelo teorema teremos 6-3=3 parâmetros adimensionais independentes. Vou escolher como variáveis repetidas \rho, V e d_{1} (boa escolha porque têm todas as dimensões fundamentais e d_{1} é o comprimento característico). Em seguida formamos combinações do tipo \Pi=\mathscr{D}\,\rho^{\alpha}V^{\beta}d_{1}^{\gamma} e impomos que fiquem sem dimensão.

Passo 4

Montemos o primeiro grupo adimensional \Pi_{1} envolvendo \mathscr{D}:
proponho
\Pi_{1}=\mathscr{D}\,\rho^{\alpha}V^{\beta}d_{1}^{\gamma}.
As dimensões são
[\Pi_{1}]=M^{1+\alpha}L^{1-3\alpha+\beta+\gamma}T^{-2-\beta}.
Para que [\Pi_{1}] seja adimensional, devemos ter os expoentes zero:
1+\alpha=0,\quad -2-\beta=0,\quad 1-3\alpha+\beta+\gamma=0.
Resolvendo: \alpha=-1, \beta=-2, e \gamma=-2. Logo
\Pi_{1}=\frac{\mathscr{D}}{\rho V^{2} d_{1}^{2}}.
Este \Pi_{1} é proporcional ao coeficiente de arraste usual (diferença apenas por um fator numérico e pela área de referência), e mede o arraste adimensionalizado pela pressão dinâmica \rho V^{2} e pela escala de área d_{1}^{2}.

Passo 5

Agora formamos \Pi_{2} usando \mu com as mesmas repetidas:
\Pi_{2}=\mu\,\rho^{\alpha}V^{\beta}d_{1}^{\gamma}
Temos dimensões
[\Pi_{2}]=M^{1+\alpha}L^{-1-3\alpha+\beta+\gamma}T^{-1-\beta}.
Impondo adimensionalidade:
1+\alpha=0,\quad -1-\beta=0,\quad -1-3\alpha+\beta+\gamma=0.
Daí \alpha=-1, \beta=-1, \gamma=-1. Assim
\Pi_{2}=\frac{\mu}{\rho V d_{1}}=\frac{1}{\mathrm{Re}},
onde \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V d_{1}}{\mu} é o número de Reynolds baseado em d_{1}. Vou comentar sobre o significado: \mathrm{Re} compara inércia do escoamento com viscosidade; regimes de fluxo (laminar/transicional/turbulento) aparecem como variação de \mathrm{Re}.

Passo 6

O terceiro parâmetro adimensional naturalmente vem da geometria: a razão entre os diâmetros. Tomamos
\Pi_{3}=\frac{d_{2}}{d_{1}}.
Isto é adimensional e descreve a forma da arruela (quanto maior \Pi_{3} mais “aberta” a arruela). Não precisamos envolver \rho,V,\mu aqui porque é puramente geométrico.

Passo 7

Concluímos que os três parâmetros adimensionais independentes são \Pi_{1}, \Pi_{2} e \Pi_{3}, e que a relação entre as variáveis pode ser escrita na forma
\Pi_{1}=\Phi\!\left(\Pi_{2},\Pi_{3}\right),
ou seja
\frac{\mathscr{D}}{\rho V^{2} d_{1}^{2}}=\Phi\!\left(\frac{\mu}{\rho V d_{1}},\frac{d_{2}}{d_{1}}\right),
ou, em forma mais familiar usando o número de Reynolds,
\frac{\mathscr{D}}{\rho V^{2} d_{1}^{2}}=F\!\left(\mathrm{Re},\frac{d_{2}}{d_{1}}\right).
Na prática experimental do túnel de vento você plotaria o coeficiente de arraste adimensional \Pi_{1} (ou o coeficiente de arraste clássico C_{D}=\dfrac{\mathscr{D}}{\tfrac{1}{2}\rho V^{2}A} com A área projetada) versus \mathrm{Re} para curvas paramétricas em diferentes valores de \dfrac{d_{2}}{d_{1}}.

Passo 8

Resumo prático e dica para experimentos: use d_{1} como comprimento de referência; reporte \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V d_{1}}{\mu} e a razão geométrica \dfrac{d_{2}}{d_{1}}; meça \mathscr{D} e calcule \dfrac{\mathscr{D}}{\rho V^{2} d_{1}^{2}} (ou C_{D} com área projetada) para agrupar e comparar os dados de forma independente de escala.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathscr{D}}{\rho V^{2} d_{1}^{2}},\quad \mathrm{Re}=\frac{\rho V d_{1}}{\mu},\quad \frac{d_{2}}{d_{1}}

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