Determine a potência em W de uma turbina pela qual escoa água com uma vazão de 1200 litros/s.
Dados: \mathrm{H}_{\mathrm{T}}=30 \mathrm{~m}, \eta=90 \%, \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a potência (em W) de uma turbina pela qual escoa água com uma determinada vazão. Dados fornecidos:
\text{vazão } Q = 1200\\ \text{L/s}ã
\mathrm{H_T} = 30\\ \mathrm{m}
\eta = 90\%
\rho_{\mathrm{H_2O}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}
g = 10\\ \mathrm{m/s^2}
Não vou resolver nada aqui ainda; apenas listei todas as informações que o enunciado dá.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
  • A potência hidráulica disponível devido à queda de altura é a energia potencial por unidade de tempo que o fluxo perde. A energia potencial de uma massa m que cai uma altura H é m g H. Se essa massa passa por segundo, vira potência.
  • Taxa de massa (massa por segundo) é dada por \dot{m} = \rho \, Q, onde: \rho \text{ é a densidade (kg/m}^3\text{),}é
Q \text{ é a vazão volumétrica (m}^3\text{/s).}éãé
  • Portanto a potência hidráulica (sem considerar perdas) é P_{\text{hid}} = \dot{m}\, g\, H = \rho\, Q\, g\, H.Aqui: P_{\text{hid}} \text{ em W (joules por segundo),}
\rho \text{ em kg/m}^3,\\ Q \text{ em m}^3\text{/s},\\ g \text{ em m/s}^2,\\ H \text{ em m.}
  • A turbina não converte toda a potência hidráulica em potência útil; a eficiência \eta (adimensional) diz quanta fração vira potência útil. Logo a potência útil é P = \eta \, P_{\text{hid}} = \eta\, \rho\, Q\, g\, H.
Vou aplicar essa fórmula aos números do problema nos passos seguintes.

Passo 3

Converter a vazão dada em litros por segundo para metros cúbicos por segundo (porque \rho está em kg/m³ e as fórmulas exigem m³/s):
1\\ \mathrm{L} = 0{,}001\\ \mathrm{m^3}.
Assim
Q = 1200\\ \mathrm{L/s} = 1200 \times 0{,}001\\ \mathrm{m^3/s} = 1{,}2\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Calcular a potência hidráulica sem eficiência usando
P_{\text{hid}} = \rho\, Q\, g\, H.
Substituindo os valores:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad Q = 1{,}2\\ \mathrm{m^3/s},\quad g = 10\\ \mathrm{m/s^2},\quad H = 30\\ \mathrm{m}.
Faço as multiplicações passo a passo:
\rho\, g = 1000 \times 10 = 10000,
\rho\, g\, Q = 10000 \times 1{,}2 = 12000,
P_{\text{hid}} = 12000 \times 30 = 360000\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Aplicar a eficiência \eta. Como \eta = 90\% = 0{,}90, a potência útil é
P = \eta\, P_{\text{hid}} = 0{,}90 \times 360000\\ \mathrm{W} = 324000\\ \mathrm{W}.
Em notação científica (opcional) isso é
P = 3{,}24 \times 10^{5}\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Checagem rápida de unidades (só pra ficar tranquilo):
\text{kg/m}^3 \times \text{m}^3/\text{s} \times \text{m/s}^2 \times \text{m} = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^3 = \text{W},
portanto as unidades batem e o resultado faz sentido.

Resposta

Potência: P = 3{,}24\times10^{5}\\ \mathrm{W}

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