Exerćció 4: Considere a função
dada por
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o limite
existe, e — se existir — determinar o seu valor. As informações importantes que o enunciado dá são:
- A função é dada por partes dependendo de
- O ponto onde se toma o limite é
. Portanto
está exatamente na fronteira entre as duas regiões (o caso ).]
Passo 2
Breve explicação do que significa o limite em duas variáveis (para quem está com pressa de entender a ideia): dizer que
significa que, para qualquer caminho ou sequência
que se aproxime de
, os valores
se aproximam do mesmo número
. Se existirem duas maneiras de se aproximar de
que levem a valores diferentes, então o limite não existe.
Como a função é dada por partes em termos de
(ou seja, depende só da distância ao origem), é natural estudar o limite em termos desse raio
quando
. No ponto em questão temos
. Assim precisamos comparar os valores que
tende quando
vindo de valores menores que
(região interna) e quando
vindo de valores maiores ou iguais a
(região externa). Se essas duas tendências derem o mesmo número, o limite existe; caso contrário, não existe.
Passo 3
Limite ao aproximar-se por pontos com
(região interna).
- Nessa região a fórmula é
. Defina . Para pontos dessa região, e - A função
é contínua em . Portanto, quando (aproximação de valores menores), tem-se - Uma maneira de ver isso por sequências: tome uma sequência de raios
e pontos na mesma direção do vetor , por exemplo Esses pontos satisfazem e . Para eles - Conclusão parcial: aproximando-se de
por dentro do círculo de raio os valores de tendem para .
Passo 4
Limite ao aproximar-se por pontos com
(região externa, onde a segunda peça vale).
- Nessa região a fórmula é
. Novamente use . Para pontos dessa região tem-se e - A função
é contínua em um intervalo que contém . Portanto, quando (aproximação por valores maiores ou iguais a ), - Novamente por sequências: escolha
e pontos Agora e . Para estes pontos - Conclusão parcial: aproximando-se de
por fora (ou pela própria peça que contém o ponto), os valores de tendem para .
Passo 5
Comparação das duas tendências e conclusão sobre existência do limite.
- Da Passo 3 obtivemos tendência igual a
. - Da Passo 4 obtivemos tendência igual a
. - Como
e são números diferentes (de fato ), existem duas maneiras de aproximar que levam a limites distintos. Pelo critério clássico de limites em várias variáveis (o limite existe somente se for o mesmo por qualquer caminho), concluímos que não existe.
Observação adicional (útil na prova): o valor da função no próprio ponto
é dado pela segunda peça (pois ali
), logo
mas isso não faz o limite existir — a função é simplesmente descontínua nesse ponto.
Resposta
O limite não existe.