Exerćció 4: Considere a função f: D \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \text { se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25 \\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, \text { se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 36\end{array}\right.
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
\lim _{(x, y) \rightarrow(3,4)} f(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{(x,y)\to(3,4)} f(x,y)
existe, e — se existir — determinar o seu valor. As informações importantes que o enunciado dá são:
  • A função é dada por partes dependendo de \,x^{2}+y^{2}\,\): \[f(x,y)=\begin{cases} 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & \text{se } 0 \le x^{2}+y^{2}<25,\\[6pt] \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, & \text{se } 25 \le x^{2}+y^{2}\le 36. \end{cases}
  • O ponto onde se toma o limite é (3,4)\]. - Calculando a soma dos quadrados no ponto: \(\,3^{2}+4^{2}=9+16=25. Portanto (3,4) está exatamente na fronteira entre as duas regiões (o caso \,x^{2}+y^{2}=25).]

Passo 2

Breve explicação do que significa o limite em duas variáveis (para quem está com pressa de entender a ideia): dizer que
\lim_{(x,y)\to (3,4)} f(x,y)=L
significa que, para qualquer caminho ou sequência (x,y) que se aproxime de (3,4), os valores f(x,y) se aproximam do mesmo número L. Se existirem duas maneiras de se aproximar de (3,4) que levem a valores diferentes, então o limite não existe.
Como a função é dada por partes em termos de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (ou seja, depende só da distância ao origem), é natural estudar o limite em termos desse raio r quando (x,y)\to(3,4). No ponto em questão temos r=\sqrt{25}=5. Assim precisamos comparar os valores que f tende quando r\to 5 vindo de valores menores que 5 (região interna) e quando r\to 5 vindo de valores maiores ou iguais a 5 (região externa). Se essas duas tendências derem o mesmo número, o limite existe; caso contrário, não existe.

Passo 3

Limite ao aproximar-se por pontos com \,x^{2}+y^{2}<25 (região interna).
  • Nessa região a fórmula é f(x,y)=8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Para pontos dessa região, 0\le r<5 e f(x,y)=8-r.
  • A função r\mapsto 8-r é contínua em r. Portanto, quando r\to 5^{-} (aproximação de valores menores), tem-se \lim_{r\to 5^-} (8-r)=8-5=3.
  • Uma maneira de ver isso por sequências: tome uma sequência de raios r_n=5-\tfrac{1}{n} e pontos na mesma direção do vetor (3,4), por exemplo (x_n,y_n)=\left(\frac{3}{5}r_n,\;\frac{4}{5}r_n\right).Esses pontos satisfazem x_n^{2}+y_n^{2}=r_n^{2}<25 e (x_n,y_n)\to(3,4). Para eles f(x_n,y_n)=8-r_n \longrightarrow 3.
  • Conclusão parcial: aproximando-se de (3,4) por dentro do círculo de raio 5 os valores de f tendem para 3.

Passo 4

Limite ao aproximar-se por pontos com \,x^{2}+y^{2}\ge 25 (região externa, onde a segunda peça vale).
  • Nessa região a fórmula é f(x,y)=\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}. Novamente use r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Para pontos dessa região tem-se 5\le r\le 6 e f(x,y)=\sqrt{36-r^{2}}.
  • A função r\mapsto \sqrt{36-r^{2}} é contínua em um intervalo que contém r=5. Portanto, quando r\to 5^{+} (aproximação por valores maiores ou iguais a 5), \lim_{r\to 5^+} \sqrt{36-r^{2}}=\sqrt{36-5^{2}}=\sqrt{11}.
  • Novamente por sequências: escolha r_n=5+\tfrac{1}{n} e pontos (x_n,y_n)=\left(\frac{3}{5}r_n,\;\frac{4}{5}r_n\right).Agora x_n^{2}+y_n^{2}=r_n^{2}\ge 25 e (x_n,y_n)\to(3,4). Para estes pontos f(x_n,y_n)=\sqrt{36-r_n^{2}} \longrightarrow \sqrt{11}.
  • Conclusão parcial: aproximando-se de (3,4) por fora (ou pela própria peça que contém o ponto), os valores de f tendem para \sqrt{11}.

Passo 5

Comparação das duas tendências e conclusão sobre existência do limite.
  • Da Passo 3 obtivemos tendência igual a 3.
  • Da Passo 4 obtivemos tendência igual a \sqrt{11}.
  • Como 3 e \sqrt{11} são números diferentes (de fato \sqrt{11}\approx 3{,}316\ldots \neq 3), existem duas maneiras de aproximar (3,4) que levam a limites distintos. Pelo critério clássico de limites em várias variáveis (o limite existe somente se for o mesmo por qualquer caminho), concluímos que \lim_{(x,y)\to(3,4)} f(x,y)não existe.
Observação adicional (útil na prova): o valor da função no próprio ponto (3,4) é dado pela segunda peça (pois ali x^{2}+y^{2}=25), logo
f(3,4)=\sqrt{36-25}=\sqrt{11},
mas isso não faz o limite existir — a função é simplesmente descontínua nesse ponto.

Resposta

O limite não existe.

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