Exerćció 4: Considere a função
dada por
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
Passo 1
O enunciado dá a função
A pergunta é: existe o limite
Se o limite existir, determinar o seu valor.
Informações relevantes dadas:
- A função é peça-por-peça, com mudança de expressão ocorrendo na circunferência .]
Passo 2
Calcular
no ponto dado para saber em qual ramo da função o ponto está:
Como
, o ponto
pertence à região onde a função é dada por
. Portanto, em torno de
devemos verificar se podemos permanecer sempre nessa mesma expressão (o que facilita muito a análise do limite).
Passo 3
Explicar por que a expressão
é contínua na vizinhança de
.
- A função
é contínua em todo porque é soma de funções polinomiais (cada polinômio é contínuo). - A função
é contínua no intervalo . - A composição
, isto é, , é portanto contínua onde (o que vale para todo ). - Subtrair essa quantidade de
mantém a continuidade: é contínua em todo o conjunto onde está definida.
Assim, sempre que um ponto estiver estritamente dentro da região
, a fórmula
fornece uma função contínua naquele ponto.
Passo 4
Mostrar que existe uma bola ao redor de
que fica inteiramente dentro da região
.
Se
(norma euclidiana), então pela desigualdade triangular
onde
.
Queremos garantir (porque
), ou seja,
. Logo basta escolher qualquer
Queremos garantir
Com essa escolha de
fica garantido que, para todo
com
, vale
, portanto
. Em outras palavras, existe uma vizinhança de
inteira no ramo
.
Passo 5
Concluir sobre o limite usando continuidade local.
Como há uma vizinhança de
em que a função coincide com a expressão contínua
, o limite quando
é igual ao valor dessa expressão no ponto. Em termos práticos, isso significa que
Passo 6
Calcular o valor numérico do limite: