Exerćció 4: Considere a função f: D \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \text { se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25 \\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, \text { se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 36\end{array}\right.
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} f(x, y)

Passo 1

O enunciado dá a função f:D\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)=\begin{cases} 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & \text{se } 0 \le x^{2}+y^{2}<25,\\[4pt] \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, & \text{se } 25 \le x^{2}+y^{2}\le 36. \end{cases}
A pergunta é: existe o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} f(x,y)?
Se o limite existir, determinar o seu valor.
Informações relevantes dadas:
  • A função é peça-por-peça, com mudança de expressão ocorrendo na circunferência x^{2}+y^{2}=25\]. - O ponto do qual se toma o limite é \((1,2).]

Passo 2

Calcular x^{2}+y^{2} no ponto dado para saber em qual ramo da função o ponto está:
(1)^{2}+(2)^{2}=1+4=5.
Como 5<25, o ponto (1,2) pertence à região onde a função é dada por 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Portanto, em torno de (1,2) devemos verificar se podemos permanecer sempre nessa mesma expressão (o que facilita muito a análise do limite).

Passo 3

Explicar por que a expressão 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}} é contínua na vizinhança de (1,2).
  • A função g(x,y)=x^{2}+y^{2} é contínua em todo \mathbb{R}^{2} porque é soma de funções polinomiais (cada polinômio é contínuo).
  • A função h(t)=\sqrt{t} é contínua no intervalo [0,\infty).
  • A composição h\circ g, isto é, (x,y)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}}, é portanto contínua onde g(x,y)\ge0 (o que vale para todo (x,y)).
  • Subtrair essa quantidade de 8 mantém a continuidade: 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}} é contínua em todo o conjunto onde está definida.
Assim, sempre que um ponto estiver estritamente dentro da região 0\le x^{2}+y^{2}<25, a fórmula 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}} fornece uma função contínua naquele ponto.

Passo 4

Mostrar que existe uma bola ao redor de (1,2) que fica inteiramente dentro da região x^{2}+y^{2}<25.
Se \|(x,y)-(1,2)\|<\delta (norma euclidiana), então pela desigualdade triangular
\|(x,y)\|\le \|(x,y)-(1,2)\|+\|(1,2)\| < \delta + \sqrt{5},
onde \|(1,2)\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.
Queremos garantir \|(x,y)\|<5 (porque 5=\sqrt{25}), ou seja, \delta+\sqrt{5}<5. Logo basta escolher qualquer
0<\delta<5-\sqrt{5}.
Com essa escolha de \delta fica garantido que, para todo (x,y) com \|(x,y)-(1,2)\|<\delta, vale \|(x,y)\|<5, portanto x^{2}+y^{2}<25. Em outras palavras, existe uma vizinhança de (1,2) inteira no ramo 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Concluir sobre o limite usando continuidade local.
Como há uma vizinhança de (1,2) em que a função coincide com a expressão contínua 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, o limite quando (x,y)\to(1,2) é igual ao valor dessa expressão no ponto. Em termos práticos, isso significa que
\lim_{(x,y)\to(1,2)} f(x,y)=8-\sqrt{1^{2}+2^{2}}.

Passo 6

Calcular o valor numérico do limite:
8-\sqrt{1^{2}+2^{2}}=8-\sqrt{5}.

Resposta

8-\sqrt{5}

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