Exerćció 4: Considere a função f: D \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \text { se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25 \\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, \text { se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 36\end{array}\right.
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
\lim _{(x, y) \rightarrow(-2,5)} f(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, com justificativa, se o limite
\lim_{(x,y)\to(-2,5)} f(x,y)
existe, e quando existir calcular o seu valor. A função f\) foi dada por partes: \[f(x,y)=\begin{cases} 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & \text{se } 0\le x^{2}+y^{2}<25,\\[4pt] \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, & \text{se } 25\le x^{2}+y^{2}\le 36. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O ponto de interesse é p=(-2,5)\]. - O valor de \(x^{2}+y^{2} no ponto é
(-2)^{2}+5^{2}=4+25=29.
  • Note que 29 satisfaz 25<29<36, ou seja, o ponto p está na segunda região da definição da função (aquela com \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}), e está estritamente fora do círculo de raio 5 e estritamente dentro do círculo de raio 6.]

Passo 2

Ideia da justificativa (passo lógico que vamos desenvolver): se conseguirmos mostrar que todos os pontos suficientemente próximos de p também ficam na segunda região 25\le x^{2}+y^{2}\le36, então perto de p a função é dada por uma única expressão explícita \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}. Como essa expressão é contínua (é composição de funções contínuas em pontos com argumento não negativo), o limite será simplesmente o valor dessa expressão em p. Agora vamos tornar isso rigoroso e didático.
Primeiro, chame r(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e r_0=r(-2,5)=\sqrt{29}. Observações úteis:
  • r_0=\sqrt{29} satisfaz 5<r_0<6, pois 25<29<36.
  • A função r é contínua em \mathbb{R}^2 e, em particular, vale a desigualdade triangular para distâncias:
\big|r(x,y)-r_0\big| \le \sqrt{(x+2)^{2}+(y-5)^{2}} = \|(x,y)-p\|.
Isto é: a variação do raio é controlada pela distância ao ponto p.

Passo 3

Construir uma bola ao redor de p onde a segunda fórmula vale. Tome
\delta_1=\frac{r_0-5}{2}=\frac{\sqrt{29}-5}{2}>0.
Se \|(x,y)-p\|<\delta_1 então, pela desigualdade do passo anterior,
r(x,y) \ge r_0-\|(x,y)-p\| > r_0-\delta_1 = r_0-\frac{r_0-5}{2}=\frac{r_0+5}{2}>5.
Além disso, escolhendo \delta_1 assim também garante r(x,y)<6 porque \delta_1<6-r_0 (note que 6-r_0>\frac{r_0-5}{2} neste caso). Portanto, para todos os (x,y) com \|(x,y)-p\|<\delta_1 vale
25<r(x,y)^{2}<36,
ou seja, todos esses pontos estão na segunda região da definição de f. Conclusão: existe uma vizinhança de p onde
f(x,y)=\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

Propriedade de continuidade que usamos: a função g(x,y)=36-x^{2}-y^{2} é polinomial em x,y e portanto contínua; a função \varphi(t)=\sqrt{t} é contínua para t\ge 0. A composição \varphi\circ g, isto é, (x,y)\mapsto \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, é então contínua no ponto p (porque g(p)=36-29=7>0). Como mostramos no passo anterior que f coincide com essa função contínua em uma vizinhança de p, segue que f é contínua em p. Para funções contínuas, o limite no ponto existe e é o valor da função no ponto. Portanto
\lim_{(x,y)\to(-2,5)} f(x,y)=\sqrt{36-(-2)^{2}-5^{2}}=\sqrt{36-29}=\sqrt{7}.

Resposta

\sqrt{7}

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