EXERCÍCIO 01 - Buck em CCM (básico)
Um conversor Buck opera a partir de uma fonte de tensão contínua de \mathrm{Vi}=100 \mathrm{~V}.
A carga é puramente resistiva com resistência \mathrm{R}=10 \Omega e a indutância do filtro é \mathrm{L}=100 \mathrm{mH}. A frequência de chaveamento é \mathrm{f}=1 \mathrm{kHz} e o intervalo de tempo no estado ligado (condução da chave) é ton =0,5 \mathrm{~ms}.
Adote componentes ideais e operação em CCM. Determine:
a) A tensão média na carga Vo (use Vo =\mathrm{D} \cdot \mathrm{Vi} ).
b) A corrente média de saída lo.
c) A potência fornecida à carga.
d) O valor mínimo necessário de L para garantir a condução contínua da corrente, indicando claramente o critério adotado para CCM.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • V_i = 100\\ \mathrm{V}.
    • Resistência de carga R = 10\\ \Omega.
    • Indutância do filtro L = 100\\ \mathrm{mH}.
    • Frequência de chaveamento f = 1\\ \mathrm{kHz}.
    • Tempo ligado t_{\text{on}} = 0,5\\ \mathrm{ms}.
    • Componentes ideais e operação em CCM (suposição a ser verificada).
  • O enunciado pede:
    (a) a tensão média na carga V_o (dado usar V_o = D \cdot V_i);
    (b) a corrente média de saída I_o;
    (c) a potência fornecida à carga;
    (d) o valor mínimo necessário de L para garantir CCM, indicando claramente o critério adotado para CCM.

Passo 2

Calcular o período e o ciclo de trabalho (duty cycle). Explicação: o período T é o inverso da frequência; o duty cycle D é a fração do período em que a chave fica ligada:
T=\frac{1}{f}.
Substituindo:
T=\frac{1}{1000}=0,001\\ \mathrm{s}.
O duty cycle é
D=\frac{t_{\text{on}}}{T}.
Convertendo t_{\text{on}}=0,5\\ \mathrm{ms}=0,0005\\ \mathrm{s} e calculando:
D=\frac{0,0005}{0,001}=0,5.
Comentário curto: D=0,5 significa que a chave fica ligada metade do tempo.

Passo 3

Calcular a tensão média de saída V_o. Fórmula usada (dada no enunciado): V_o = D\cdot V_i. Vou explicar: na operação média ideal do conversor Buck em regime estacionário, a média da tensão na saída é a fração D da tensão de entrada porque durante o intervalo ligado a saída vê V_i e durante o desligado vê 0 (ou o caminho do diodo), e a média temporal é D V_i.
Aplicando:
V_o = D\cdot V_i = 0,5\cdot 100 = 50\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Calcular a corrente média de saída I_o. Explicação: a carga é puramente resistiva, então vale a lei de Ohm I_o = \dfrac{V_o}{R}. Aqui cada símbolo significa:
  • I_o: corrente média que atravessa a resistência;
  • V_o: tensão média na carga;
  • R: resistência da carga.
Aplicando:
I_o = \frac{V_o}{R} = \frac{50}{10} = 5\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Calcular a potência fornecida à carga. Explicação: potência em uma carga resistiva é P = V_o\cdot I_o (ou P = V_o^2/R). Usando V_o e I_o já obtidos:
P = V_o\cdot I_o = 50\cdot 5 = 250\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Explicar o critério de CCM e a fórmula da ripa de corrente do indutor. Didática: em um conversor Buck, a corrente do indutor i_L(t) tem uma componente média e uma componente alternada (ripple). O regime contínuo de corrente (CCM) significa que i_L(t) nunca chega a zero durante o ciclo — ou seja, o valor mínimo instantâneo de corrente é maior que zero. Para verificar CCM usamos o critério prático:
I_o > \frac{\Delta i_{L,\text{pp}}}{2},
onde \Delta i_{L,\text{pp}} é o ripple (pico-a-pico) da corrente do indutor. Explicação do porquê: a forma de i_L é triangular no steady state; sua amplitude pico-a-pico dividida por 2 dá a amplitude (do valor médio até o pico mínimo). Para não atingir zero, o valor médio tem de ser maior que essa semi-amplitude.
Agora derivar \Delta i_{L,\text{pp}}. Durante o intervalo ligado a inclinação da corrente é
\frac{di}{dt}=\frac{V_i - V_o}{L},
pois a tensão no indutor é V_i - V_o. O aumento da corrente no intervalo ligado é
\Delta i_{\text{on}}=\frac{V_i - V_o}{L}\cdot D\cdot T.
No estado de regime estacionário a queda durante o intervalo desligado tem a mesma magnitude, logo o pico-a-pico é
\Delta i_{L,\text{pp}}=\Delta i_{\text{on}}=\frac{V_i - V_o}{L}\cdot D\cdot T.

Passo 7

Isolar L a partir do critério de CCM. Usando I_o > \dfrac{\Delta i_{L,\text{pp}}}{2} e a expressão de \Delta i_{L,\text{pp}}, obtemos a condição mínima para L:
I_o > \frac{1}{2}\cdot\frac{V_i - V_o}{L}\cdot D\cdot T
Rearranjando para L:
L > \frac{V_i - V_o}{2 I_o}\cdot D\cdot T.
Assim o valor mínimo L_{\min} é
L_{\min}=\frac{V_i - V_o}{2 I_o}\cdot D\cdot T.
Agora substituir os números já calculados: V_i - V_o = 100-50 = 50\\ \mathrm{V}, D=0,5, T=0,001\\ \mathrm{s}, I_o=5\\ \mathrm{A}. Calculando:
L_{\min}=\frac{50}{2\cdot 5}\cdot 0,5\cdot 0,001.
Primeiro \dfrac{50}{2\cdot 5}=\dfrac{50}{10}=5. Então
L_{\min}=5\cdot 0,5\cdot 0,001=5\cdot 0,0005=0,0025\\ \mathrm{H}.
Convertendo para milihenry:
L_{\min}=2,5\\ \mathrm{mH}.

Passo 8

Verificar, com o L dado, que realmente está em CCM e calcular o ripple numérico. O indutor dado é L=100\\ \mathrm{mH}=0,1\\ \mathrm{H}. Calcular \Delta i_{L,\text{pp}} com a fórmula:
\Delta i_{L,\text{pp}}=\frac{V_i - V_o}{L}\cdot D\cdot T.
Substituindo:
\Delta i_{L,\text{pp}}=\frac{50}{0,1}\cdot 0,5\cdot 0,001.
Calcular passo a passo: \dfrac{50}{0,1}=500. Então \Delta i_{L,\text{pp}}=500\cdot 0,0005=0,25\\ \mathrm{A}. A semi-amplitude é 0,125\\ \mathrm{A}. Como I_o=5\\ \mathrm{A} é muito maior que 0,125\\ \mathrm{A}, a corrente nunca chegará a zero — portanto a operação é CCM com folga.

Resposta

(a) V_o = 50\\ \mathrm{V}
(b) I_o = 5\\ \mathrm{A}
(c) P = 250\\ \mathrm{W}
(d) L_{\min} = 2,5\\ \mathrm{mH} (critério adotado: \;I_o > \dfrac{\Delta i_{L,\text{pp}}}{2}, com \Delta i_{L,\text{pp}}=\dfrac{V_i-V_o}{L}\,D\,T).

Exercícios relacionados