Para a função de transferência abaixo, determine o sinal de saída quando a entrada é 4 e^{-2 t} u(t).
H(s)=\frac{s^{2}}{3 s+1}
Passo 1
O enunciado dá:
A função de transferência H(s)=\frac{s^{2}}{3s+1}.
A entrada no domínio do tempo é x(t)=4 e^{-2 t} u(t).
O que se pede: determinar o sinal de saída y(t) (ou seja, a resposta do sistema LTI com a transferência H(s) quando a entrada for x(t)).
Passo 2
Vamos trabalhar no domínio de Laplace porque em sistemas LTI a multiplicação em s corresponde à resposta ao produto H(s)X(s). Primeiro achamos a transformada de Laplace da entrada. A transformada de \,e^{-a t}u(t)\, é \dfrac{1}{s+a} (para \Re(s)>-a). Portanto, por linearidade,
X(s)=\mathcal{L}\{4 e^{-2 t}u(t)\}=\frac{4}{s+2}.
Explicação rápida dessa fórmula: a transformada de Laplace é definida por \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt. No caso f(t)=e^{-2t} isso dá \int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}dt=1/(s+2), e o fator 4 sai multiplicando.
Observação importante: o numerador tem grau 2 e o denominador também tem grau 2 (grau igual). Quando, após multiplicar por X(s), a função Y(s) não é estritamente própria (grau do numerador maior ou igual ao do denominador), a transformada inversa contém impulsos (como \delta(t)) e possivelmente derivadas do delta. Para separar esses termos fazemos divisão polinomial ou escrevemos Y(s) como soma de um polinômio em s mais uma fração própria.
Fazendo a divisão (razão entre coeficientes principais):
o termo polinomial é \dfrac{4}{3}, pois \dfrac{4s^{2}}{3s^{2}+\cdots} tem razão de coeficientes 4/3.
Multiplicando o sistema por 3\] para eliminar denominadores:
\[\begin{cases} 3A+9B=-28,\\[6pt] 6A+3B=-8. \end{cases}\]
Resolvendo: multiplicando a primeira por \(2 e subtraindo a segunda:
Explicação intuitiva: termos polinomiais em s (ou constantes) correspondem a combinações de \delta(t) e suas derivadas porque essas componentes não são funções “normais” de tempo limitado, mas impulsos concentrados em t=0.
Termo \dfrac{4/15}{3s+1}. Observação: \dfrac{1}{3s+1}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{s+1/3}. A transformada inversa de \dfrac{1}{s+a} é e^{-a t}u(t). Assim
Comentário final e incentivo: note que há um impulso em t=0 (devido ao comportamento em altas frequências do sistema, já que H(s) não é estritamente própria) e, para t>0, a resposta é a soma de duas exponenciais causais. Está indo bem — isso é exatamente o tipo de detalhe que costuma cair em prova (reconhecer o termo de impulso e fazer a decomposição em frações simples).