Um circuito tem a função de transferência a seguir. Determine a resposta a um degrau unitário.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do circuito e pede a resposta ao degrau unitário. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Foi dada a função de transferência
- O excitamento é um degrau unitário, cuja transformada de Laplace é
- O que pedem: encontrar a saída no tempo
para quando a entrada é esse degrau unitário.
Passo 2
Transformada de Laplace da saída. Em sistemas lineares invariantes no tempo, a transformada de Laplace da saída
é o produto da função de transferência
pela transformada da entrada. Como a entrada é o degrau unitário, temos
Nosso objetivo agora é obter
.
Passo 3
Estratégia para inverter
. Para aplicar a transformada inversa de Laplace de forma direta, vamos decompor
em frações parciais no formato
com constantes
. Depois cada termo terá uma antitransformada conhecida:
-
(degrau), -
para .
Explico brevemente o método das frações parciais: multiplica-se ambos os lados pela expressão
e determina-se
avaliando convenientemente em valores de
que anulem fatores (método da cobertura) ou igualando coeficientes.
Passo 4
Determinação de
pelo método da cobertura (plugando raízes dos denominadores). Multiplicando e igualando,
Agora escolhe-se valores de
que simplifiquem:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim obtemos
,
,
.
Passo 5
Escrevendo
com as frações parciais encontradas:
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando linearidade e as tabelas básicas de Laplace:
-
, -
, -
.
Passo 6
Montando a resposta no tempo para
, e lembrando de multiplicar pela função degrau (caso queira explicitar causality):
onde
é o degrau unitário (padrão para saída causal). Na prática, para
podemos simplesmente escrever
Passo 7
Verificações rápidas (úteis na prova, para checar possíveis erros):
- Valor inicial
. Pode-se confirmar com o teorema do valor inicial usando . - Valor em regime permanente
. Isso bate com o ganho DC multiplicado pelo degrau unitário de amplitude .