Exercício 01: Considere um sistema trifásico a três fios, sendo as correntes de linha iguais a: I_{a}=6 \angle 0^{\circ} \mathrm{A}, i_{b}=1,73 \angle-150^{\circ} \mathrm{A} e i_{c}=1,73 \angle 150^{\circ} \mathrm{A}. Para este sistema:
a) calcule todas as componentes de sequência.

Passo 1

O enunciado fornece as correntes de linha (phasors) e pede todas as componentes de sequência. Informações dadas:
  • I_{a}=6\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.
  • I_{b}=1{,}73\angle -150^{\circ}\\ \mathrm{A}.
  • I_{c}=1{,}73\angle 150^{\circ}\\ \mathrm{A}.
O que se pede:
  • Calcular todas as componentes de sequência: corrente de sequência zero I_{0}, sequência positiva I_{1} e sequência negativa I_{2}.

Passo 2

Apresentar as fórmulas de componentes de sequência e o operador \,a.
Definição (fórmulas que vamos usar):
I_{0}=\frac{1}{3}\bigl(I_{a}+I_{b}+I_{c}\bigr), \qquad I_{1}=\frac{1}{3}\bigl(I_{a}+a\,I_{b}+a^{2}I_{c}\bigr), \qquad I_{2}=\frac{1}{3}\bigl(I_{a}+a^{2}I_{b}+a\,I_{c}\bigr).
Aqui cada I é um fasor complexo (representando magnitude e ângulo). O operador a é o deslocamento de 120^{\circ}:
a=e^{j120^{\circ}}=\cos 120^{\circ}+j\sin 120^{\circ}=-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2},
e
a^{2}=e^{j240^{\circ}}=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Observação útil: 1+a+a^{2}=0 e a^{3}=1.

Passo 3

Converter I_{b} e I_{c} para forma retangular (usar que 1{,}73 é aproximado para \sqrt{3}).
Tomando 1{,}73\approx\sqrt{3}, tem-se:
I_{b}=\sqrt{3}\angle -150^{\circ} \quad\Rightarrow\quad I_{b}=\sqrt{3}\bigl(\cos(-150^{\circ})+j\sin(-150^{\circ})\bigr).
Usando \cos150^{\circ}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin150^{\circ}=\tfrac{1}{2}, obtemos
I_{b}=-\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Analogamente,
I_{c}=\sqrt{3}\angle 150^{\circ}=-\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
E I_{a}=6+ j0.

Passo 4

Calcular a componente de sequência zero I_{0}.
Aplicando a fórmula:
I_{0}=\frac{1}{3}\bigl(I_{a}+I_{b}+I_{c}\bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(6 +\bigl(-\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)+\bigl(-\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr).
As partes imaginárias se cancelam: -j\tfrac{\sqrt{3}}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}=0. As partes reais somam 6-\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}=6-3=3. Portanto
I_{0}=\frac{1}{3}\cdot 3=1\\ \mathrm{A}.
Em forma fasorial: \;I_{0}=1\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Calcular a componente de sequência positiva I_{1}. Primeiro calcular aI_{b} e a^{2}I_{c}.
Usar a=-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2} e a^{2}=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicações (fazer passo a passo):
aI_{b}=\Bigl(-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Aplicando a regra (x_1+jy_1)(x_2+jy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+j(x_1y_2+y_1x_2):
  • Parte real: (-1/2)(-3/2)-(\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2)=\tfrac{3}{4}-(-\tfrac{3}{4})=\tfrac{3}{2}.
  • Parte imaginária: (-1/2)(-\sqrt{3}/2)+(\sqrt{3}/2)(-3/2)=\tfrac{\sqrt{3}}{4}-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
aI_{b}=\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora
a^{2}I_{c}=\Bigl(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Pelo mesmo cálculo obtemos
a^{2}I_{c}=\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Somando:
I_{a}+aI_{b}+a^{2}I_{c}=6+\Bigl(\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)+\Bigl(\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=6+3=9.
Portanto
I_{1}=\frac{1}{3}\cdot 9=3\\ \mathrm{A},
ou seja \;I_{1}=3\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Calcular a componente de sequência negativa I_{2}. Usar a fórmula direta ou subtrair (reconstrução). Vou mostrar a fórmula direta:
I_{2}=\frac{1}{3}\bigl(I_{a}+a^{2}I_{b}+aI_{c}\bigr).
Calcular a^{2}I_{b} e aI_{c}.
Primeiro
a^{2}I_{b}=\Bigl(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Cálculo:
  • Parte real: (-1/2)(-3/2)-(-\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2)=\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{4}=0.
  • Parte imaginária: (-1/2)(-\sqrt{3}/2)+(-\sqrt{3}/2)(-3/2)=\tfrac{\sqrt{3}}{4}+\tfrac{3\sqrt{3}}{4}=\tfrac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}.
Logo
a^{2}I_{b}=j\sqrt{3}.
Depois
aI_{c}=\Bigl(-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Cálculo análogo dá
aI_{c}=-j\sqrt{3}.
Somando:
I_{a}+a^{2}I_{b}+aI_{c}=6 + j\sqrt{3} - j\sqrt{3}=6.
Portanto
I_{2}=\frac{1}{3}\cdot 6=2\\ \mathrm{A},
ou seja \;I_{2}=2\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Interpretação curta (útil para prova): todas as três componentes de sequência são fasores com ângulo 0^{\circ} (ou seja, reais positivas), e os valores são inteiros simples porque os dados escolhidos (com 1{,}73\approx\sqrt{3}) foram harmonizados para dar números racionais nas somas:
  • I_{0}=1\\ \mathrm{A},
  • I_{1}=3\\ \mathrm{A},
  • I_{2}=2\\ \mathrm{A}.
Esses três satisfazem a reconstrução das correntes de fase por
I_{a}=I_{0}+I_{1}+I_{2}=1+3+2=6,
e fórmulas similares fornecem I_{b} e I_{c}.

Resposta

I_{0}=1\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}
I_{1}=3\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}
I_{2}=2\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}

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