Exercício 04: Determine as componentes simétricas das três correntes \dot{I}_{a}=10 \angle 0^{\circ} A, \dot{I}_{b}=10 \angle 230^{\circ} A e \dot{I}_{c}= 10 \angle 130^{\circ} \mathrm{A}.

Passo 1

O enunciado fornece três correntes fasoriais iguais em magnitude e com ângulos diferentes. Os dados são:
  • \dot{I}_{a}=10\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}
  • \dot{I}_{b}=10\angle 230^{\circ}\\ \mathrm{A}
  • \dot{I}_{c}=10\angle 130^{\circ}\\ \mathrm{A}
O que o exercício pede: determinar as componentes simétricas (sequência zero, sequência positiva e sequência negativa) dessas três correntes, ou seja, calcular \dot{I}_{0}, \dot{I}_{1} e \dot{I}_{2}.

Passo 2

Explicando a ideia e a fórmula que vamos usar (com calma): as componentes simétricas de Fortescue são definidas por uma transformação linear que separa qualquer conjunto trifásico em três sistemas equilibrados: sequência zero, positiva e negativa. As fórmulas diretas são
\dot{I}_{0}=\frac{1}{3}\big(\dot{I}_{a}+\dot{I}_{b}+\dot{I}_{c}\big),
\dot{I}_{1}=\frac{1}{3}\big(\dot{I}_{a}+a\,\dot{I}_{b}+a^{2}\,\dot{I}_{c}\big),
\dot{I}_{2}=\frac{1}{3}\big(\dot{I}_{a}+a^{2}\,\dot{I}_{b}+a\,\dot{I}_{c}\big),
onde a é o operador de deslocamento de fase de 120^{\circ},
a=\mathrm{e}^{j120^{\circ}}=-\tfrac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad a^{2}=\mathrm{e}^{j240^{\circ}}=-\tfrac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}.
Dica prática: para multiplicações e somas é mais simples converter os fasores para forma retangular (parte real + j parte imaginária), fazer as operações, e no final voltar para forma polar (magnitude \angle fase) se quiser. Vou mostrar tudo passo a passo.

Passo 3

Converter cada corrente para forma retangular (vou usar valores trigonométricos conhecidos: \cos 50^{\circ}\approx0,6427876097 e \sin50^{\circ}\approx0,7660444431).
Para \dot{I}_{a}:
\dot{I}_{a}=10\angle 0^{\circ}=10+ j0.
Para \dot{I}_{b}=10\angle 230^{\circ}. Note que 230^{\circ}=180^{\circ}+50^{\circ}, então
\cos230^{\circ}=-\cos50^{\circ}\approx -0{,}6427876097, \qquad \sin230^{\circ}=-\sin50^{\circ}\approx -0{,}7660444431.
Logo
\dot{I}_{b}=10(\cos230^{\circ}+j\sin230^{\circ})\approx -6{,}427876097 - j7{,}660444431.
Para \dot{I}_{c}=10\angle 130^{\circ}. Note que 130^{\circ}=180^{\circ}-50^{\circ}, então
\cos130^{\circ}=-\cos50^{\circ}\approx -0{,}6427876097, \qquad \sin130^{\circ}= \sin50^{\circ}\approx 0{,}7660444431.
Logo
\dot{I}_{c}=10(\cos130^{\circ}+j\sin130^{\circ})\approx -6{,}427876097 + j7{,}660444431.
Observação: \dot{I}_{b} e \dot{I}_{c} são conjugados (mesma parte real, sinais opostos na imaginária).

Passo 4

Calcular a componente de sequência zero usando a fórmula direta:
\dot{I}_{0}=\frac{1}{3}\big(\dot{I}_{a}+\dot{I}_{b}+\dot{I}_{c}\big).
Somando em forma retangular (usei os valores calculados no passo anterior):
\dot{I}_{a}+\dot{I}_{b}+\dot{I}_{c}=(10+ j0)+(-6{,}427876097 - j7{,}660444431)+(-6{,}427876097 + j7{,}660444431).
As partes imaginárias se cancelam e a parte real é
10-6{,}427876097-6{,}427876097=10-12{,}855752194=-2{,}855752194.
Portanto
\dot{I}_{0}=\frac{1}{3}(-2{,}855752194)= -0{,}951917398\\\ + j0 \\ \mathrm{A}.
Em forma polar isso é
\dot{I}_{0}\approx 0{,}9519\angle 180^{\circ}\\ \mathrm{A}
(negativo na parte real => ângulo 180^{\circ}).

Passo 5

Calcular a componente de sequência positiva. Vamos primeiro estipular numericamente a e a^{2}:
a=-\tfrac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0{,}5 + j0{,}8660254038,
a^{2}=-\tfrac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0{,}5 - j0{,}8660254038.
Agora calcular a\dot{I}_{b} e a^{2}\dot{I}_{c}.
Multiplicando a por \dot{I}_{b}:
a\dot{I}_{b}\approx(-0{,}5+j0{,}8660254)\cdot(-6{,}427876097 - j7{,}660444431).
Faço a multiplicação passo a passo (real e imaginária):
real: (-0{,}5)(-6{,}427876097)-(0{,}8660254)(-7{,}660444431)\approx 3{,}2139380485+6{,}634706=9{,}848644049,
imaginária: (-0{,}5)(-7{,}660444431)+(0{,}8660254)(-6{,}427876097)\approx 3{,}8302222155-5{,}565985\approx -1{,}735762784.
Logo
a\dot{I}_{b}\approx 9{,}848644049 - j1{,}735762784.
Multiplicando a^{2} por \dot{I}_{c}:
a^{2}\dot{I}_{c}\approx(-0{,}5-j0{,}8660254)\cdot(-6{,}427876097 + j7{,}660444431).
Fazendo as contas obtemos (os termos imaginários se cancelam em sinal oposto ao caso anterior)
a^{2}\dot{I}_{c}\approx 9{,}848644049 + j1{,}735762784.
Somando agora na fórmula de \dot{I}_{1}:
\dot{I}_{1}=\frac{1}{3}\big(\dot{I}_{a}+a\dot{I}_{b}+a^{2}\dot{I}_{c}\big).
Somando em retangular:
\dot{I}_{a}+a\dot{I}_{b}+a^{2}\dot{I}_{c}=(10+ j0)+(9{,}848644049 - j1{,}735762784)+(9{,}848644049 + j1{,}735762784)=29{,}697288098 + j0.
Dividindo por 3:
\dot{I}_{1}\approx 9{,}899096033 + j0\\ \mathrm{A},
ou em polar
\dot{I}_{1}\approx 9{,}8991\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Calcular a componente de sequência negativa usando
\dot{I}_{2}=\frac{1}{3}\big(\dot{I}_{a}+a^{2}\dot{I}_{b}+a\dot{I}_{c}\big).
Precisamos de a^{2}\dot{I}_{b} e a\dot{I}_{c}.
Já temos a e a^{2}. Multiplicando:
Para a^{2}\dot{I}_{b}:
a^{2}\dot{I}_{b}\approx(-0{,}5-j0{,}8660254)\cdot(-6{,}427876097 - j7{,}660444431).
Fazendo os produtos, encontramos
a^{2}\dot{I}_{b}\approx -3{,}4207679515 + j9{,}3962072155.
Para a\dot{I}_{c}:
a\dot{I}_{c}\approx(-0{,}5+j0{,}8660254)\cdot(-6{,}427876097 + j7{,}660444431)\approx -3{,}4207679515 - j9{,}3962072155.
Somando:
\dot{I}_{a}+a^{2}\dot{I}_{b}+a\dot{I}_{c}=(10+ j0)+(-3{,}4207679515 + j9{,}3962072155)+(-3{,}4207679515 - j9{,}3962072155) =3{,}158464097.
Dividindo por 3:
\dot{I}_{2}\approx 1{,}0528213657 + j0\\ \mathrm{A},
ou em polar
\dot{I}_{2}\approx 1{,}0528\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Pequena checagem (é uma boa prática): \dot{I}_{a}=\dot{I}_{0}+\dot{I}_{1}+\dot{I}_{2}.
Substituindo os valores reais:
-0{,}951917398 + 9{,}899096033 + 1{,}0528213657 \approx 10{,}000000001\approx 10,
que reconstrói \dot{I}_{a} (diferença numérica por arredondamento). Isso dá confiança nos cálculos. Força e joga firme na prova — você já chegou até aqui!

Resposta

\dot{I}_{0}=0{,}9519\angle 180^{\circ}\\ \mathrm{A}\n
\dot{I}_{1}=9{,}8991\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}\n
\dot{I}_{2}=1{,}0528\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}

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