Exercício 06: As tensões nos terminais de uma carga equilibrada consistindo em três resistores de 20 \Omega, ligados em Y, são V_{a b}^{\prime}=100 \angle 0^{\circ}, V_{b c}^{\prime}=80,8 \angle-121,44^{\circ} e V_{c a}^{\prime}=90 \angle 130^{\circ} V. Determine uma expressão geral para a relação entre as componentes simétricas das tensões de linha e de fase, isto é, V_{a b 1}^{\cdot} e V_{a n 1}^{\cdot} e entre V_{a b 2}^{\cdot} e V_{\text {an2 }}^{\cdot}. Suponha que não existe conexão ao neutro da carga. Encontre as correntes de linha em função dos componentes simétricos das tensões de linha dadas.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
  • A carga é formada por três resistores iguais 20\\ \Omega ligados em Y (estrela).
  • Não existe conexão ao neutro da carga (o neutro da carga está flutuante).
  • São fornecidas as tensões de linha (entre fases) medidas: V_{ab}^{\prime}=100\angle 0^\circ, V_{bc}^{\prime}=80{,}8\angle -121{,}44^\circ e V_{ca}^{\prime}=90\angle 130^\circ (estes são os valores numéricos das tensões de linha, mas a primeira parte do pedido é simbólica/geral).
  • O enunciado pede:
    1. Uma expressão geral relacionando os componentes simétricos positivos e negativos das tensões de linha V_{ab1} e V_{ab2} com os correspondentes componentes de fase V_{an1} e V_{an2}.
    2. Supondo que não haja conexão ao neutro da carga, encontrar as correntes de linha em função dos componentes simétricos das tensões de linha dadas (ou seja, expressar I_a,I_b,I_c em termos de V_{ab1} e V_{ab2} e da impedância de fase).

Passo 2

Recordando definições úteis (sem pular etapas):
  • Denotar a=\mathrm{e}^{j120^\circ}. Propriedades úteis: a^3=1,\qquad 1+a+a^2=0,\qquad a^2=\mathrm{e}^{j240^\circ}.
  • Relação entre tensões de fase e de sequência: as componentes de fase positivas satisfazem V_{b1}=a^2 V_{a1},\qquad V_{c1}=a V_{a1},porque no sequência positiva cada fase está defasada de 120^\circ no sentido a\to b\to c.
  • A tensão de linha V_{ab} é sempre V_{ab}=V_a-V_b. Aplicando isso às componentes de sequência, para a sequência positiva: V_{ab1}=V_{a1}-V_{b1}=V_{a1}-a^2 V_{a1}=V_{a1}\,(1-a^2).

Passo 3

Calcular o fator 1-a^2 e interpretar em magnitude e ângulo:
  • a^2=\mathrm{e}^{j240^\circ}=\cos240^\circ+j\sin240^\circ=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Então 1-a^2=1-(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2})=\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Magnitude e ângulo: |1-a^2|=\sqrt{\Big(\tfrac{3}{2}\Big)^2+\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2}=\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{3},
\angle(1-a^2)=\arctan\!\Big(\dfrac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\Big)=\arctan\!\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Big)=30^\circ.
  • Portanto 1-a^2=\sqrt{3}\angle 30^\circ.
  • Substituindo em V_{ab1}=V_{a1}(1-a^2) obtemos a relação desejada para a sequência positiva: \boxed{V_{ab1}=\sqrt{3}\angle 30^\circ\;V_{an1}.}Invertendo, \boxed{V_{an1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ\;V_{ab1}.}

Passo 4

Fazer o mesmo para a sequência negativa:
  • Para sequência negativa vale V_{b2}=a\,V_{a2} (as fases giram no sentido oposto).
  • Então V_{ab2}=V_{a2}-V_{b2}=V_{a2}-a V_{a2}=V_{a2}(1-a).
  • Calcular 1-a: a=-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad 1-a=\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.Magnitude e ângulo: |1-a|=\sqrt{\Big(\tfrac{3}{2}\Big)^2+\Big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2}=\sqrt{3},\quad \angle(1-a)=-30^\circ.
  • Assim \boxed{V_{ab2}=\sqrt{3}\angle -30^\circ\;V_{an2},}e invertendo \boxed{V_{an2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\angle 30^\circ\;V_{ab2}.}

Passo 5

Comentário sobre sequência zero e neutro não conectado:
  • Como não existe conexão ao neutro da carga, a sequência zero não tem caminho de retorno através da carga (o neutro da carga está em circuito aberto para correntes zero-sequência). Portanto a impedância zero-sequência do conjunto de fase visto pelo neutro é efetivamente infinita e a corrente zero-sequência na carga é zero: \boxed{I_{0}=0.}

Passo 6

Expressar as correntes de sequência nas fases da carga e reescrever em função de V_{ab1} e V_{ab2}:
  • Impedância de cada fase (resistor): Z=20\\ \Omega (ângulo 0^\circ, puramente resistiva).
  • Correntes de sequência nas fases são simplesmente divisão da tensão de fase correspondente pela impedância de fase: I_{a1}=\dfrac{V_{a1}}{Z},\qquad I_{a2}=\dfrac{V_{a2}}{Z},\qquad I_{a0}=0.
  • Usando as relações dos Passos 3 e 4 para escrever V_{a1} e V_{a2} em termos de V_{ab1} e V_{ab2}: I_{a1}=\dfrac{1}{Z}\,V_{a1}=\dfrac{1}{Z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ\;V_{ab1}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{3}\,Z}\angle -30^\circ\;V_{ab1},
I_{a2}=\dfrac{1}{Z}\,V_{a2}=\dfrac{1}{Z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\angle 30^\circ\;V_{ab2}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{3}\,Z}\angle 30^\circ\;V_{ab2}.

Passo 7

Recompor as correntes de fase (linhas) somando as sequências e escrever I_a,I_b,I_c em termos de V_{ab1},V_{ab2}:
  • A corrente de fase a é a soma das correntes de sequência: I_a=I_{a1}+I_{a2}+I_{a0}=I_{a1}+I_{a2}.
  • Para as outras fases, usar as rotações de fase das sequências: I_{b1}=a^2 I_{a1},\quad I_{b2}=a I_{a2}\quad\Rightarrow\quad I_b= a^2 I_{a1}+a I_{a2},
I_{c1}=a I_{a1},\quad I_{c2}=a^2 I_{a2}\quad\Rightarrow\quad I_c= a I_{a1}+a^2 I_{a2}.
  • Substituindo I_{a1} e I_{a2} em função de V_{ab1} e V_{ab2} e usando Z=20\\ \Omega (se desejar manter simbólico, deixar Z): I_a=\dfrac{1}{\sqrt{3}\,Z}\Big(\angle -30^\circ\;V_{ab1}+\angle 30^\circ\;V_{ab2}\Big),
I_b=\dfrac{1}{\sqrt{3}\,Z}\Big(a^2\angle -30^\circ\;V_{ab1}+a\angle 30^\circ\;V_{ab2}\Big),
I_c=\dfrac{1}{\sqrt{3}\,Z}\Big(a\angle -30^\circ\;V_{ab1}+a^2\angle 30^\circ\;V_{ab2}\Big).
  • Se preferir colocar o valor numérico de Z (aqui Z=20\\ \Omega): \boxed{I_a=\dfrac{1}{20\sqrt{3}}\Big(\angle -30^\circ\;V_{ab1}+\angle 30^\circ\;V_{ab2}\Big)}e expressões análogas para I_b e I_c com os fatores a e a^2 mostrados acima.

Resposta

V_{ab1}=\sqrt{3}\angle 30^\circ\;V_{an1}
V_{an1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ\;V_{ab1}
V_{ab2}=\sqrt{3}\angle -30^\circ\;V_{an2}
V_{an2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\angle 30^\circ\;V_{ab2}
I_a=\dfrac{1}{\sqrt{3}\,Z}\Big(\angle -30^\circ\;V_{ab1}+\angle 30^\circ\;V_{ab2}\Big)
I_b=\dfrac{1}{\sqrt{3}\,Z}\Big(a^2\angle -30^\circ\;V_{ab1}+a\angle 30^\circ\;V_{ab2}\Big)
I_c=\dfrac{1}{\sqrt{3}\,Z}\Big(a\angle -30^\circ\;V_{ab1}+a^2\angle 30^\circ\;V_{ab2}\Big)
(para a=\mathrm{e}^{j120^\circ} e, no caso numérico da carga dada, Z=20\\ \Omega, podendo substituir Z por 20\\ \Omega se quiser valores escalares).

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