Exercício 09: A liga de futebol de um país tem quatro times: time 1 , time 2 , time 3 e time 4. Um time estrangeiro em excursão pelo país vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1, 2 e 3. Suponha que contra o time 1 este time tem probabilidade
de conquistar a vitória, enquanto que essa probabilidade vale
quando o adversário é o time 2 e vale
quando o adversário é o time 3. Assuma também que os resultados dos três amistosos são independentes. Seja
o número de vitórias conquistadas pelo time estrangeiro nos três amistosos.
(a) Obtenha a função de probabilidade de
.
(b) Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitória?
Suponha agora que, dependendo do seu desempenho nos três amistosos, o time estrangeiro decidirá fazer um quarto jogo, contra o time 4 . Caso conquiste três vitórias nos três amistosos, jogará contra o time 4 ; caso obtenha exatamente duas vitórias, fará o quarto jogo com probabilidade
e não realizará o quarto jogo caso obtenha apenas uma vitória ou não vença nenhum dos três amistosos.
(c) Determine a probabilidade de que o quarto jogo seja realizado.
(d) Dado que o quarto jogo se realizou, qual a probabilidade de que o time estrangeiro tenha vencido os três amistosos iniciais?
(a) Obtenha a função de probabilidade de
(b) Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitória?
(c) Determine a probabilidade de que o quarto jogo seja realizado.
(d) Dado que o quarto jogo se realizou, qual a probabilidade de que o time estrangeiro tenha vencido os três amistosos iniciais?
Passo 1
Primeiro vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados (peguei todos do enunciado):
- O time estrangeiro faz três amistosos, um contra cada um dos times 1, 2 e 3.
- Probabilidades de vitória nesses jogos (independentes entre si):
- contra o time 1:
; - contra o time 2:
; - contra o time 3:
.
- contra o time 1:
- Os resultados dos três amistosos são independentes (dito no enunciado).
- Definição da variável:
- Seja
o número de vitórias do time estrangeiro nos três amistosos; logo .
- Seja
- Perguntas:
(a) Obter a função de probabilidade de(ou seja, para ).
(b) Calcular(pelo menos uma vitória).
(c) Sabendo as regras para o quarto jogo (joga se; joga com probabilidade se ; não joga se ou ), determinar .
(d) Calcular.
Agora que está claro o que nos pedem e quais são os dados, vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Conceitos básicos e estratégia (aula rápida e bem prática).
- Cada amistoso é uma variável de Bernoulli independente: seja
os indicadores de vitória contra os times 1,2,3 respectivamente. Então E . - Para calcular
com três Bernoullis independentes (e com probabilidades possivelmente diferentes), a forma direta é somar as probabilidades de todos os eventos elementares que têm exatamente sucessos. Isso significa multiplicar probabilidades de cada jogo (vitória ou não) e somar os casos possíveis. - Vou calcular cada
escrevendo explicitamente os termos correspondentes e fazendo as contas de frações passo a passo.
Passo 3
Calcular
— nenhuma vitória.
- Para não vencer nenhum dos três jogos precisamos que os três percam: probabilidades de perda são
. - Logo
- Substituindo os valores:
- Fazer a multiplicação:
Passo 4
Calcular
— vencer os três jogos.
- Isso é simplesmente o produto das probabilidades de vitória:
- Multiplicando:
Passo 5
Calcular
— exatamente uma vitória.
- Há três casos mutuamente exclusivos que dão exatamente uma vitória: vencer só contra o time 1; só contra o time 2; só contra o time 3. Para cada caso multiplicamos a probabilidade de vitória onde é vitória por probabilidades de derrota nos outros dois.
- Escrevendo:
- Substituindo:
- Somando:
]
Passo 6
Calcular
— exatamente duas vitórias.
- Há três casos: vitórias em (1 e 2) só, (1 e 3) só, (2 e 3) só. Escrevemos:
- Substituindo e calculando cada termo:
- Somando:
]
Passo 7
Conferência rápida (sanity check) e resumo da função de probabilidade.
- Verificar que as probabilidades somam 1:
- Portanto a função de probabilidade (parte (a)) é:
Passo 8
Resolver (b): probabilidade de pelo menos uma vitória,
.
- Usamos o complemento (é o jeito mais rápido):
. - Como
, então
Passo 9
Resolver (c): probabilidade de que o quarto jogo seja realizado.
- Regras do enunciado (peguei diretamente):
- Se
o quarto jogo será realizado com probabilidade . - Se
o quarto jogo será realizado com probabilidade . - Se
ou o quarto jogo não será realizado (probabilidade ).
- Se
- Assim, pela lei da probabilidade total:
- Substituindo:
- Calcular o segundo termo:
- Somando com
ou convertendo tudo para centésimos: (ou seja, ).
Passo 10
Resolver (d): probabilidade de que o time tenha vencido os três amistosos dado que o quarto jogo foi realizado, isto é,
.
- Usamos definição de probabilidade condicional:
- Se
então o 4º jogo ocorre com probabilidade 1, logo . - Assim
- Simplificando:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)