Exercício 09: A liga de futebol de um país tem quatro times: time 1 , time 2 , time 3 e time 4. Um time estrangeiro em excursão pelo país vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1, 2 e 3. Suponha que contra o time 1 este time tem probabilidade 1 / 4 de conquistar a vitória, enquanto que essa probabilidade vale 1 / 2 quando o adversário é o time 2 e vale 2 / 5 quando o adversário é o time 3. Assuma também que os resultados dos três amistosos são independentes. Seja X o número de vitórias conquistadas pelo time estrangeiro nos três amistosos.
(a) Obtenha a função de probabilidade de X.
(b) Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitória?
Suponha agora que, dependendo do seu desempenho nos três amistosos, o time estrangeiro decidirá fazer um quarto jogo, contra o time 4 . Caso conquiste três vitórias nos três amistosos, jogará contra o time 4 ; caso obtenha exatamente duas vitórias, fará o quarto jogo com probabilidade 4 / 5 e não realizará o quarto jogo caso obtenha apenas uma vitória ou não vença nenhum dos três amistosos.
(c) Determine a probabilidade de que o quarto jogo seja realizado.
(d) Dado que o quarto jogo se realizou, qual a probabilidade de que o time estrangeiro tenha vencido os três amistosos iniciais?

Passo 1

Primeiro vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • O time estrangeiro faz três amistosos, um contra cada um dos times 1, 2 e 3.
    • Probabilidades de vitória nesses jogos (independentes entre si):
      • contra o time 1: \,p_1=\tfrac{1}{4}\,;
      • contra o time 2: \,p_2=\tfrac{1}{2}\,;
      • contra o time 3: \,p_3=\tfrac{2}{5}\,.
    • Os resultados dos três amistosos são independentes (dito no enunciado).
  • Definição da variável:
    • Seja X o número de vitórias do time estrangeiro nos três amistosos; logo X\in\{0,1,2,3\}.
  • Perguntas:
    (a) Obter a função de probabilidade de X (ou seja, P(X=k) para k=0,1,2,3).
    (b) Calcular P(X\ge 1) (pelo menos uma vitória).
    (c) Sabendo as regras para o quarto jogo (joga se X=3; joga com probabilidade \tfrac{4}{5} se X=2; não joga se X=0 ou 1), determinar P(\text{o quarto jogo é realizado})é.
    (d) Calcular P(X=3 \mid \text{o quarto jogo foi realizado}).
Agora que está claro o que nos pedem e quais são os dados, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Conceitos básicos e estratégia (aula rápida e bem prática).
  • Cada amistoso é uma variável de Bernoulli independente: seja A,B,C os indicadores de vitória contra os times 1,2,3 respectivamente. Então P(A=1)=p_1=\tfrac{1}{4},\quad P(B=1)=p_2=\tfrac{1}{2},\quad P(C=1)=p_3=\tfrac{2}{5}.E X=A+B+C.
  • Para calcular P(X=k) com três Bernoullis independentes (e com probabilidades possivelmente diferentes), a forma direta é somar as probabilidades de todos os eventos elementares que têm exatamente k sucessos. Isso significa multiplicar probabilidades de cada jogo (vitória ou não) e somar os casos possíveis.
  • Vou calcular cada P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3) escrevendo explicitamente os termos correspondentes e fazendo as contas de frações passo a passo.

Passo 3

Calcular P(X=0) — nenhuma vitória.
  • Para não vencer nenhum dos três jogos precisamos que os três percam: probabilidades de perda são 1-p_1,1-p_2,1-p_3.
  • Logo P(X=0)=(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3).
  • Substituindo os valores: P(X=0)=\left(1-\tfrac{1}{4}\right)\left(1-\tfrac{1}{2}\right)\left(1-\tfrac{2}{5}\right) =\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{5}.
  • Fazer a multiplicação: P(X=0)=\frac{3\cdot1\cdot3}{4\cdot2\cdot5}=\frac{9}{40}.

Passo 4

Calcular P(X=3) — vencer os três jogos.
  • Isso é simplesmente o produto das probabilidades de vitória: P(X=3)=p_1 p_2 p_3=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}.
  • Multiplicando: P(X=3)=\frac{1\cdot1\cdot2}{4\cdot2\cdot5}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}.

Passo 5

Calcular P(X=1) — exatamente uma vitória.
  • Há três casos mutuamente exclusivos que dão exatamente uma vitória: vencer só contra o time 1; só contra o time 2; só contra o time 3. Para cada caso multiplicamos a probabilidade de vitória onde é vitória por probabilidades de derrota nos outros dois.
  • Escrevendo: \begin{aligned} P(X=1)&=p_1(1-p_2)(1-p_3)+(1-p_1)p_2(1-p_3)+(1-p_1)(1-p_2)p_3. \end{aligned}
  • Substituindo: \begin{aligned} p_1(1-p_2)(1-p_3)&=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{5}=\tfrac{3}{40},\\[4pt] (1-p_1)p_2(1-p_3)&=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{5}=\tfrac{9}{40},\\[4pt] (1-p_1)(1-p_2)p_3&=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{6}{40}. \end{aligned}
  • Somando: P(X=1)=\frac{3+9+6}{40}=\frac{18}{40}=\frac{9}{20}.]

Passo 6

Calcular P(X=2) — exatamente duas vitórias.
  • Há três casos: vitórias em (1 e 2) só, (1 e 3) só, (2 e 3) só. Escrevemos: \begin{aligned} P(X=2)&=p_1 p_2(1-p_3)+p_1(1-p_2)p_3+(1-p_1)p_2 p_3. \end{aligned}
  • Substituindo e calculando cada termo: \begin{aligned} p_1 p_2(1-p_3)&=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{5}=\tfrac{3}{40},\\[4pt] p_1(1-p_2)p_3&=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{2}{40}=\tfrac{1}{20},\\[4pt] (1-p_1)p_2 p_3&=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{6}{40}. \end{aligned}
  • Somando: P(X=2)=\frac{3+2+6}{40}=\frac{11}{40}.]

Passo 7

Conferência rápida (sanity check) e resumo da função de probabilidade.
  • Verificar que as probabilidades somam 1: P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{9+18+11+2}{40}=\frac{40}{40}=1.
  • Portanto a função de probabilidade (parte (a)) é: P(X=0)=\tfrac{9}{40},\quad P(X=1)=\tfrac{9}{20},\quad P(X=2)=\tfrac{11}{40},\quad P(X=3)=\tfrac{1}{20}.

Passo 8

Resolver (b): probabilidade de pelo menos uma vitória, P(X\ge 1).
  • Usamos o complemento (é o jeito mais rápido): P(X\ge1)=1-P(X=0).
  • Como P(X=0)=\tfrac{9}{40}, então P(X\ge1)=1-\tfrac{9}{40}=\tfrac{31}{40}.

Passo 9

Resolver (c): probabilidade de que o quarto jogo seja realizado.
  • Regras do enunciado (peguei diretamente):
    • Se X=3 o quarto jogo será realizado com probabilidade 1.
    • Se X=2 o quarto jogo será realizado com probabilidade \tfrac{4}{5}.
    • Se X=1 ou X=0 o quarto jogo não será realizado (probabilidade 0).
  • Assim, pela lei da probabilidade total: P(\text{4º jogo})=P(X=3)\cdot 1 + P(X=2)\cdot\tfrac{4}{5}.º
  • Substituindo: P(\text{4º jogo})=\tfrac{1}{20}+\tfrac{11}{40}\cdot\tfrac{4}{5}.º
  • Calcular o segundo termo: \tfrac{11}{40}\cdot\tfrac{4}{5}=\tfrac{44}{200}=\tfrac{11}{50}.
  • Somando com \tfrac{1}{20}=\tfrac{5}{100} ou convertendo tudo para centésimos: P(\text{4º jogo})=\tfrac{1}{20}+\tfrac{11}{50}=\tfrac{5}{100}+\tfrac{22}{100}=\tfrac{27}{100}.º(ou seja, 0{,}27).

Passo 10

Resolver (d): probabilidade de que o time tenha vencido os três amistosos dado que o quarto jogo foi realizado, isto é, P(X=3 \mid \text{4º jogo})º.
  • Usamos definição de probabilidade condicional: P(X=3 \mid \text{4º jogo})=\frac{P(X=3 \text{ e 4º jogo})}{P(\text{4º jogo})}.ººº
  • Se X=3 então o 4º jogo ocorre com probabilidade 1, logo P(X=3 \text{ e 4º jogo})=P(X=3)º.
  • Assim P(X=3 \mid \text{4º jogo})=\frac{P(X=3)}{P(\text{4º jogo})}=\frac{\tfrac{1}{20}}{\tfrac{27}{100}}.ºº
  • Simplificando: \frac{\tfrac{1}{20}}{\tfrac{27}{100}}=\frac{1}{20}\cdot\frac{100}{27}=\frac{5}{27}.

Resposta

(a) P(X=0)=\tfrac{9}{40},\;P(X=1)=\tfrac{9}{20},\;P(X=2)=\tfrac{11}{40},\;P(X=3)=\tfrac{1}{20}.
(b) P(X\ge1)=\tfrac{31}{40}.
(c) P(\text{o quarto jogo é realizado})=\tfrac{27}{100}.é
(d) P(X=3 \mid \text{o quarto jogo foi realizado})=\tfrac{5}{27}.

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