Exercício 03: Um para-quedista de 70 kg salta de um avião e cai diretamente na vertical. A força de arrasto é \mathbf{F d}=\mathbf{k V}^{\mathbf{2}}, onde \mathrm{k}=0,25 \mathrm{Ns}^{2} / \mathrm{m}^{2}. Avalie a velocidade terminal do pára-quedista. Compare com o caso em que a resistência do ar é desprezada. Avalie a distancia vertical requerida para atingir 95% da velocidade terminal. Compare com a distância para atingir a mesma velocidade se a resistência do ar fosse desprezada. Plote a velocidade do pára-quedista em função do tempo e em função da distância de queda para os casos com arrasto e sem arrasto.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (tudo que preciso usar, peguei do enunciado):
  • Massa do pára-quedista: m = 70\\ \mathrm{kg}.
  • Força de arrasto quadrática: \mathbf{F}_d = k\,V^{2} com k = 0,25\\ \mathrm{N\,s^{2}/m^{2}}.
  • Aceleração da gravidade: vou usar g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor comum em problemas).
    As perguntas:
  1. Avaliar a velocidade terminal do pára-quedista.
  2. Comparar essa situação com o caso em que a resistência do ar é desprezada (o que muda: existe velocidade terminal? como é a velocidade no tempo?).
  3. Avaliar a distância vertical necessária para atingir 95\% da velocidade terminal (no caso com arrasto).
  4. Comparar essa distância com a distância necessária para atingir a mesma velocidade quando a resistência do ar é desprezada.
  5. Plotar (ou apresentar as expressões para plotar) a velocidade em função do tempo v(t) e a velocidade em função da distância v(s) para os dois casos: com arrasto e sem arrasto.

Passo 2

Modelo físico e equação de movimento — escrevendo tudo de forma clara:
  • Forças na direção vertical (para baixo positivo): peso para baixo P = m g; arrasto para cima F_d = k v^2 (assumimos v\ge0 durante a queda).
  • Equação de Newton na vertical:
m\frac{dv}{dt} = m g - k v^{2}.
Aqui:
  • v(t) é a velocidade para baixo (positiva),
  • t é o tempo,
  • m e k já dados,
  • g é a aceleração da gravidade.
    Explicação rápida: o termo m g acelera para baixo; o termo k v^2 cresce com v e reduz a aceleração. Quando m g = k v^2 a aceleração é zero e a velocidade se torna constante — é a velocidade terminal.

Passo 3

Cálculo da velocidade terminal \,v_t:
  • Definição: \,v_t satisfaz m g - k v_t^{2} = 0, ou seja
k v_t^{2} = m g \quad\Rightarrow\quad v_t = \sqrt{\dfrac{m g}{k}}.
Explicando esta fórmula: equilibra-se o peso com a força de arrasto; a velocidade terminal depende de massa, gravidade e constante de arrasto.
Agora plugando números (tudo em notação correta):
m g = 70\cdot 9,81 = 686,7\\ \mathrm{N}, \qquad \dfrac{m g}{k}=\dfrac{686,7}{0,25}=2746,8.
v_t = \sqrt{2746,8}\approx 52,40\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física curta: com esse arrasto o pára-quedista não aumenta a velocidade indefinidamente; ele se aproxima de \,52,40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Comparação com o caso sem resistência do ar:
  • Se não houvesse arrasto ( k=0), a equação seria m dv/dt = m g, ou seja
\frac{dv}{dt}=g \quad\Rightarrow\quad v(t)=g t + v(0).
Com v(0)=0 (partida do repouso), v(t)=g t. Não existe velocidade terminal: a velocidade cresce linearmente com o tempo e tende a infinito quando t\to\infty. Conclusão: com arrasto há um limite finito \,v_t; sem arrasto não há velocidade terminal.

Passo 5

Solução completa v(t) com arrasto quadrático (resolvendo a ED separável), passo a passo didático:
A equação é
\frac{dv}{dt}=g - \frac{k}{m}v^{2}.
Como já observamos, \dfrac{k}{m}=\dfrac{g}{v_t^{2}} (porque v_t^{2}=mg/k). Substituindo:
\frac{dv}{dt}=g\Bigl(1-\bigl(\tfrac{v}{v_t}\bigr)^{2}\Bigr).
Separando variáveis:
\int \frac{dv}{1-(v/v_t)^{2}} = \int g\, dt.
Troca de variável útil: u = v/v_t implica du = dv/v_t. Assim a integral à esquerda é v_t\int du/(1-u^{2}), que é v_t\operatorname{atanh}(u) (lembrando que \frac{d}{du}\operatorname{atanh}u = 1/(1-u^{2})).
Com condição inicial v(0)=0 obtemos:
v_t\,\operatorname{atanh}\!\bigl(\tfrac{v}{v_t}\bigr)=g t.
Logo
\operatorname{atanh}\!\bigl(\tfrac{v}{v_t}\bigr)=\dfrac{g t}{v_t} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{v}{v_t}=\operatorname{tanh}\!\Bigl(\dfrac{g t}{v_t}\Bigr).
Portanto a solução explícita é
\boxed{\,v(t)=v_t\\ \operatorname{tanh}\!\Bigl(\dfrac{g t}{v_t}\Bigr)\,}
Explicação didática das funções hiperbólicas: \operatorname{tanh}(x) = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} varia entre -1 e 1, e para x\to\infty temos \operatorname{tanh} x\to 1. Por isso \,v(t)\to v_t quando t\to\infty. Essa forma é muito conveniente para plotagem e para calcular tempos e distâncias.

Passo 6

Tempo para atingir 95\% da velocidade terminal (com arrasto):
  • Queremos v(t_{95})=0,95\,v_t. Da solução:
0,95 = \operatorname{tanh}\!\Bigl(\dfrac{g t_{95}}{v_t}\Bigr) \quad\Rightarrow\quad \dfrac{g t_{95}}{v_t} = \operatorname{atanh}(0,95).
Calculando numericamente:
\operatorname{atanh}(0,95)=\tfrac{1}{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{1+0,95}{1-0,95}\Bigr) =\tfrac{1}{2}\ln(39)\approx 1,8316.
\dfrac{v_t}{g}=\dfrac{52,40}{9,81}\approx 5,343\\ \mathrm{s}, \qquad t_{95}=\dfrac{v_t}{g}\cdot 1,8316\approx 9,79\\ \mathrm{s}.
Interpretação: leva cerca de 9,8\\ \mathrm{s} para chegar a 95\% de \,v_t.

Passo 7

Distância percorrida até atingir 95\% da velocidade terminal (com arrasto):
  • Primeiro obtenha s(t) integrando v(t):
s(t)=\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau = v_t\int_{0}^{t} \operatorname{tanh}\!\Bigl(\dfrac{g \tau}{v_t}\Bigr)d\tau.
Usando \int \operatorname{tanh}(a\tau)\,d\tau = \dfrac{1}{a}\ln\operatorname{cosh}(a\tau), com a=\dfrac{g}{v_t}, resulta
\boxed{\,s(t)=\dfrac{v_t^{2}}{g}\\ \ln\!\Bigl(\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{g t}{v_t}\bigr)\Bigr)\,}.
Observação prática: note que \dfrac{v_t^{2}}{g}=\dfrac{mg/k}{g}=\dfrac{m}{k}, o que simplifica os cálculos numéricos (aqui m/k=70/0,25=280\\ \mathrm{m}).
  • Agora plugando t_{95} (onde \tfrac{g t_{95}}{v_t}\approx 1,8316):
s_{95}= \dfrac{v_t^{2}}{g}\\ \ln\!\bigl(\operatorname{cosh}(1,8316)\bigr) = \dfrac{m}{k}\\ \ln\!\bigl(\operatorname{cosh}(1,8316)\bigr).
Cálculo numérico:
\dfrac{v_t^{2}}{g}=\dfrac{m}{k}=280\\ \mathrm{m},
\operatorname{cosh}(1,8316)\approx 3,201,\qquad \ln(3,201)\approx 1,1632,
s_{95}\approx 280\cdot 1,1632 \approx 325,7\\ \mathrm{m}.
Conclusão: com arrasto são necessários cerca de 326\\ \mathrm{m} para atingir 95\% de \,v_t.

Passo 8

Tempo e distância para atingir a mesma velocidade no caso sem arrasto (comparação direta):
  • Sem arrasto: v(t)=g t. Para alcançar v_{\text{alvo}}=0,95\,v_t temos
t_{\text{sem}}=\dfrac{v_{\text{alvo}}}{g}=\dfrac{0,95\,v_t}{g}.
Numericamente:
t_{\text{sem}}=0,95\cdot \dfrac{52,40}{9,81}\approx 5,08\\ \mathrm{s}.
  • Distância percorrida no mesmo tempo (queda livre sem arrasto, parte do repouso):
s_{\text{sem}}=\tfrac{1}{2} g t_{\text{sem}}^{2}.
Numericamente:
s_{\text{sem}}=\tfrac{1}{2}\cdot 9,81 \cdot (5,08)^{2}\approx 126,5\\ \mathrm{m}.
Comparação direta: para atingir a mesma velocidade 0,95\,v_t o pára-quedista sem arrasto precisa de cerca de 126{,}5\\ \mathrm{m}, enquanto com arrasto precisa de cerca de 325{,}7\\ \mathrm{m}. Ou seja, o arrasto aumenta bastante a distância e o tempo necessários.

Passo 9

Velocidade como função da distância v(s) — formas úteis para plotagem:
  • Com arrasto: partir de s(t)=\dfrac{v_t^{2}}{g}\ln\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{g t}{v_t}\bigr) e v(t)=v_t\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{g t}{v_t}\bigr). Eliminando t obtemos uma forma explícita muito prática:
\operatorname{cosh}\!\Bigl(\tfrac{g t}{v_t}\Bigr)=\exp\!\Bigl(\dfrac{g s}{v_t^{2}}\Bigr),
então
\operatorname{tanh}^{2}\!\Bigl(\tfrac{g t}{v_t}\Bigr)=1-\operatorname{sech}^{2}\!\Bigl(\tfrac{g t}{v_t}\Bigr) =1-\dfrac{1}{\operatorname{cosh}^{2}\!\bigl(\tfrac{g t}{v_t}\bigr)}.
Substituindo a expressão da \operatorname{cosh} em termos de s chegamos a
\boxed{\,v(s)=v_t\\ \sqrt{\,1-\exp\!\Bigl(-\dfrac{2 g s}{v_t^{2}}\Bigr)\,}\, }.
Essa fórmula é muito conveniente para plotar v versus s sem passar por t.
  • Sem arrasto:
\boxed{\,v(s)=\sqrt{2 g s}\, } \quad(\text{queda livre a partir do repouso}).

Passo 10

Instruções e sugestões práticas para os plots (código de exemplo e sugestões de intervalos):
Sugestão de gráficos a gerar:
  1. v(t) comparando arrasto e sem arrasto: use t de 0 a 30\\ \mathrm{s} (ou até t tal que s não ultrapasse a altura que se deseja).
  2. v(s) comparando arrasto e sem arrasto: use s de 0 a 1000\\ \mathrm{m} (ou ajuste conforme necessidade).
    Exemplo de código em Python/Matplotlib (apenas como receita — tudo externo ao resultado numérico aqui):
  • Definir os parâmetros numéricos: m=70, k=0,25, g=9,81.
  • Calcular v_t=\sqrt{m g / k}.
  • Para v(t):
    • com arrasto: v(t)=v_t*np.tanh(g*t/v_t);
    • sem arrasto: v(t)=g*t.
  • Para v(s):
    • com arrasto: v(s)=v_t*np.sqrt(1 - np.exp(-2*g*s/v_t**2));
    • sem arrasto: v(s)=np.sqrt(2*g*s).
  • Plotar curvas com legendas, eixos rotulados (t em s, v em m/s) e (s em m, v em m/s).
    Observação: as expressões acima são analíticas — o usuário pode usar esses comandos para traçar curvas suaves e comparar os dois casos.

Passo 11

Resumo físico e interpretação final (rápida e motivadora):
  • A resistência do ar limita a velocidade a um valor finito ( \approx 52,4\\ \mathrm{m/s} aqui), o que evita o crescimento indefinido de v.
  • Sem arrasto a velocidade cresce linearmente e chega mais rapidamente a qualquer valor numérico — por isso as distâncias e tempos para atingir uma mesma velocidade são menores sem arrasto.
  • Números principais que calculamos são confiáveis para resolver questões de prova e para fazer gráficos comparativos.

Resposta

Velocidade terminal: v_t \approx 52,40\\ \mathrm{m/s}.
Caso sem resistência: não existe velocidade terminal; v(t)=g t e a velocidade cresce indefinidamente com o tempo.
Tempo para atingir 95\% de v_t (com arrasto): t_{95}\approx 9,79\\ \mathrm{s}.
Distância para atingir 95\% de v_t (com arrasto): s_{95}\approx 325,7\\ \mathrm{m}.
Tempo para atingir a mesma velocidade sem arrasto: t_{\text{sem}}\approx 5,08\\ \mathrm{s}.
Distância para atingir a mesma velocidade sem arrasto: s_{\text{sem}}\approx 126,5\\ \mathrm{m}.
Expressões úteis para plotagem:
v(t) com arrasto: v(t)=v_t\\ \operatorname{tanh}\!\bigl(\dfrac{g t}{v_t}\bigr).
v(t) sem arrasto: v(t)=g t.
v(s) com arrasto: v(s)=v_t\sqrt{1-\exp\!\bigl(-\dfrac{2 g s}{v_t^{2}}\bigr)}.
v(s) sem arrasto: v(s)=\sqrt{2 g s}.

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