Exercício 03: Um para-quedista de 70 kg salta de um avião e cai diretamente na vertical. A força de arrasto é
, onde
. Avalie a velocidade terminal do pára-quedista. Compare com o caso em que a resistência do ar é desprezada. Avalie a distancia vertical requerida para atingir 95% da velocidade terminal. Compare com a distância para atingir a mesma velocidade se a resistência do ar fosse desprezada. Plote a velocidade do pára-quedista em função do tempo e em função da distância de queda para os casos com arrasto e sem arrasto.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (tudo que preciso usar, peguei do enunciado):
- Massa do pára-quedista:
. - Força de arrasto quadrática:
com . - Aceleração da gravidade: vou usar
(valor comum em problemas).
As perguntas:
- Avaliar a velocidade terminal do pára-quedista.
- Comparar essa situação com o caso em que a resistência do ar é desprezada (o que muda: existe velocidade terminal? como é a velocidade no tempo?).
- Avaliar a distância vertical necessária para atingir
da velocidade terminal (no caso com arrasto). - Comparar essa distância com a distância necessária para atingir a mesma velocidade quando a resistência do ar é desprezada.
- Plotar (ou apresentar as expressões para plotar) a velocidade em função do tempo
e a velocidade em função da distância para os dois casos: com arrasto e sem arrasto.
Passo 2
Modelo físico e equação de movimento — escrevendo tudo de forma clara:
- Forças na direção vertical (para baixo positivo): peso para baixo
; arrasto para cima (assumimos durante a queda). - Equação de Newton na vertical:
Aqui:
-
é a velocidade para baixo (positiva), -
é o tempo, -
e já dados, -
é a aceleração da gravidade.
Explicação rápida: o termoacelera para baixo; o termo cresce com e reduz a aceleração. Quando a aceleração é zero e a velocidade se torna constante — é a velocidade terminal.
Passo 3
Cálculo da velocidade terminal
:
- Definição:
satisfaz , ou seja
Explicando esta fórmula: equilibra-se o peso com a força de arrasto; a velocidade terminal depende de massa, gravidade e constante de arrasto.
Agora plugando números (tudo em notação correta):
Agora plugando números (tudo em notação correta):
Interpretação física curta: com esse arrasto o pára-quedista não aumenta a velocidade indefinidamente; ele se aproxima de
.
Passo 4
Comparação com o caso sem resistência do ar:
- Se não houvesse arrasto (
), a equação seria , ou seja
Com
(partida do repouso),
. Não existe velocidade terminal: a velocidade cresce linearmente com o tempo e tende a infinito quando
. Conclusão: com arrasto há um limite finito
; sem arrasto não há velocidade terminal.
Passo 5
Solução completa
com arrasto quadrático (resolvendo a ED separável), passo a passo didático:
A equação é
A equação é
Como já observamos,
(porque
). Substituindo:
Separando variáveis:
Troca de variável útil:
implica
. Assim a integral à esquerda é
, que é
(lembrando que
).
Com condição inicial obtemos:
Com condição inicial
Logo
Portanto a solução explícita é
Explicação didática das funções hiperbólicas:
varia entre
e
, e para
temos
. Por isso
quando
. Essa forma é muito conveniente para plotagem e para calcular tempos e distâncias.
Passo 6
Tempo para atingir
da velocidade terminal (com arrasto):
- Queremos
. Da solução:
Calculando numericamente:
Interpretação: leva cerca de
para chegar a
de
.
Passo 7
Distância percorrida até atingir
da velocidade terminal (com arrasto):
- Primeiro obtenha
integrando :
Usando
, com
, resulta
Observação prática: note que
, o que simplifica os cálculos numéricos (aqui
).
- Agora plugando
(onde ):
Cálculo numérico:
Conclusão: com arrasto são necessários cerca de
para atingir
de
.
Passo 8
Tempo e distância para atingir a mesma velocidade no caso sem arrasto (comparação direta):
- Sem arrasto:
. Para alcançar temos
Numericamente:
- Distância percorrida no mesmo tempo (queda livre sem arrasto, parte do repouso):
Numericamente:
Comparação direta: para atingir a mesma velocidade
o pára-quedista sem arrasto precisa de cerca de
, enquanto com arrasto precisa de cerca de
. Ou seja, o arrasto aumenta bastante a distância e o tempo necessários.
Passo 9
Velocidade como função da distância
— formas úteis para plotagem:
- Com arrasto: partir de
e . Eliminando obtemos uma forma explícita muito prática:
então
Substituindo a expressão da
em termos de
chegamos a
Essa fórmula é muito conveniente para plotar
versus
sem passar por
.
- Sem arrasto:
Passo 10
Instruções e sugestões práticas para os plots (código de exemplo e sugestões de intervalos):
Sugestão de gráficos a gerar:
Sugestão de gráficos a gerar:
-
comparando arrasto e sem arrasto: use de a (ou até tal que não ultrapasse a altura que se deseja). -
comparando arrasto e sem arrasto: use de a (ou ajuste conforme necessidade).
Exemplo de código em Python/Matplotlib (apenas como receita — tudo externo ao resultado numérico aqui):
- Definir os parâmetros numéricos:
, , . - Calcular
. - Para
: - com arrasto:
; - sem arrasto:
.
- com arrasto:
- Para
: - com arrasto:
; - sem arrasto:
.
- com arrasto:
- Plotar curvas com legendas, eixos rotulados
em s, em m/s) e em m, em m/s).
Observação: as expressões acima são analíticas — o usuário pode usar esses comandos para traçar curvas suaves e comparar os dois casos.
Passo 11
Resumo físico e interpretação final (rápida e motivadora):
- A resistência do ar limita a velocidade a um valor finito (
aqui), o que evita o crescimento indefinido de . - Sem arrasto a velocidade cresce linearmente e chega mais rapidamente a qualquer valor numérico — por isso as distâncias e tempos para atingir uma mesma velocidade são menores sem arrasto.
- Números principais que calculamos são confiáveis para resolver questões de prova e para fazer gráficos comparativos.
Resposta
Velocidade terminal:
Caso sem resistência: não existe velocidade terminal; e a velocidade cresce indefinidamente com o tempo.
Tempo para atingir de
(com arrasto):
Distância para atingir de
(com arrasto):
Tempo para atingir a mesma velocidade sem arrasto:
Distância para atingir a mesma velocidade sem arrasto:
Expressões úteis para plotagem:
com arrasto:
sem arrasto:
com arrasto:
sem arrasto:
Caso sem resistência: não existe velocidade terminal;
Tempo para atingir
Distância para atingir
Tempo para atingir a mesma velocidade sem arrasto:
Distância para atingir a mesma velocidade sem arrasto:
Expressões úteis para plotagem: