Para se fazer geleia de morango, contendo 15% em peso de sólidos e 85% em peso de água, morangos são esmagados. Os morangos esmagados e açúcar são misturados numa proporção de 4 / 5 \mathrm{em} massa e a mistura é aquecida para evaporar a água. O resíduo contém um terço de água em massa. Calcular as quantidades de morangos necessários para fazer 100 g de geleia e de água evaporada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • calcular a quantidade de morangos esmagados necessária para obter 100\\ \mathrm{g} de geleia;
  • calcular a massa de água que evapora durante o aquecimento.
Informações dadas:
  • Os morangos esmagados contêm 15\% em massa de sólidos e 85\% em massa de água (peguei estes valores do enunciado).
  • Morangos esmagados e açúcar são misturados na proporção de 4:5 em massa (ou seja, para cada 4 partes de morango usa-se 5 partes de açúcar).
  • Após aquecer e evaporar água, o resíduo (geleia final) contém \tfrac{1}{3} em massa de água (portanto \tfrac{2}{3} em massa de sólidos).
  • A geleia final desejada tem massa 100\\ \mathrm{g}.

Passo 2

Vou definir variáveis claras (assim fica fácil de montar as equações):
  • m_s = massa de morangos esmagados (em \mathrm{g}).
  • m_a = massa de açúcar adicionada (em \mathrm{g}).
  • m_f = massa final da geleia =100\\ \mathrm{g} (dado).
  • A geleia final tem água em massa m_w^{(f)}=\tfrac{1}{3}m_f e sólidos em massa m_{sol}^{(f)}=\tfrac{2}{3}m_f.
Calculemos m_w^{(f)} e m_{sol}^{(f)}:
m_w^{(f)}=\frac{1}{3}\cdot 100=\frac{100}{3}\\ \mathrm{g},
m_{sol}^{(f)}=\frac{2}{3}\cdot 100=\frac{200}{3}\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Relacionamentos importantes (explicando por que são verdadeiros):
  • A proporção 4:5 significa matematicamente que
m_a=\frac{5}{4}\,m_s.
  • Conservação de sólidos (os sólidos não evaporam): os sólidos iniciais da mistura são a soma dos sólidos dos morangos e do açúcar. O açúcar é considerado puro sólido (100% sólidos). Os morangos têm 15\% sólidos, logo os sólidos iniciais valem
\text{sólidos iniciais}=0{,}15\,m_s + m_a.ó
Pela conservação de sólidos, esses sólidos iniciais devem ser iguais aos sólidos na geleia final:
0{,}15\,m_s + m_a = \frac{200}{3}.

Passo 4

Substituir m_a=\dfrac{5}{4}m_s na equação da conservação de sólidos e resolver para m_s. Primeiro escrevo a equação:
0{,}15\,m_s + \frac{5}{4}\,m_s = \frac{200}{3}.
Somando os coeficientes de m_s:
0{,}15 + \frac{5}{4}=0{,}15+1{,}25=1{,}40=\frac{7}{5}.
Portanto
\frac{7}{5}\,m_s=\frac{200}{3}.
Isolando m_s:
m_s=\frac{200}{3}\cdot\frac{5}{7}=\frac{200\cdot5}{3\cdot7}=\frac{1000}{21}\\ \mathrm{g}.
Converter para decimal com arredondamento (duas casas decimais):
m_s\approx 47,62\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Para conferir e obter também a massa de açúcar (útil para checar massas intermediárias), calcule m_a:
m_a=\frac{5}{4}\,m_s=\frac{5}{4}\cdot\frac{1000}{21}=\frac{1250}{21}\\ \mathrm{g}\approx 59,52\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Calcular a massa de água evaporada. A água inicial vem só dos morangos (o açúcar é sólido), então a água inicial é
m_w^{(i)}=0{,}85\,m_s=0{,}85\cdot\frac{1000}{21}=\frac{850}{21}\\ \mathrm{g}.
A água final já calculada é m_w^{(f)}=\dfrac{100}{3}=\dfrac{700}{21}\\ \mathrm{g}. Logo a água evaporada é
m_{\text{evaporada}}=m_w^{(i)}-m_w^{(f)}=\frac{850}{21}-\frac{700}{21}=\frac{150}{21}=\frac{50}{7}\\ \mathrm{g}.
Em decimal:
m_{\text{evaporada}}\approx 7,14\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Checagem rápida (verificar balanço de massas): massa inicial da mistura antes da evaporação
m_s+m_a=\frac{1000}{21}+\frac{1250}{21}=\frac{2250}{21}=\;107{,}142857\\ \mathrm{g}.
Subtraindo a água evaporada \dfrac{50}{7}=7{,}142857\\ \mathrm{g} obtém-se 100\\ \mathrm{g}, que é a massa final desejada — tudo consistente.

Resposta

m_s=\dfrac{1000}{21}\\ \mathrm{g}\approx 47,62\\ \mathrm{g} de morangos esmagados necessários para 100\\ \mathrm{g} de geleia.
m_{\text{evaporada}}=\dfrac{50}{7}\\ \mathrm{g}\approx 7,14\\ \mathrm{g} de água evaporada.

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