Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada seguindo a orientação positiva.
sen
é o retângulo com vértices
,
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
que é o retângulo com vértices
,
,
e
, seguindo a orientação positiva.
Informações dadas e o que se pede:
- A curva
é o perímetro do retângulo . - A orientação positiva significa percorrer
no sentido anti-horário (contra-horário). - A integral de linha é
com e . - Objetivo: computar o valor numérico (ou expressão) dessa integral.
Passo 2
Intuição e estratégia (sem ainda executar contas): para integrais de linha de campos do tipo
executadas sobre um contorno simples e fechado de uma região plana, existe uma fórmula que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre a região interior. Isso é útil quando a região é um retângulo porque a integral dupla é fácil de calcular por separação de variáveis. A curva dada é exatamente o contorno do retângulo
, então vamos aplicar essa fórmula (o enunciado pede orientação positiva, compatível com a fórmula).
Passo 3
Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando (aqui explico passo-a-passo o que cada termo significa).
A fórmula afirma que, para um campo vetorial com componentes e
suficientemente suaves,
A fórmula afirma que, para um campo vetorial com componentes
onde:
-
é o contorno fechado de uma região no plano, percorrido no sentido anti-horário (orientação positiva); -
é a derivada parcial de em relação a ; -
é a derivada parcial de em relação a ; -
é o elemento de área (ou seja, ou ).
Explicação didática: transformar a integral de linha numa integral dupla evita parametrizações lado a lado; calcula-se a “rotacional” bidimensional
e integra-se sobre a área interior. Para retângulos isso costuma ficar bem simples.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: identifiquei
e
. Agora calculo as derivadas parciais necessárias, mostrando cada passo.
Calcule
:
porque
é constante em relação a
e a derivada de
é
.
Calcule
:
pois a derivada de
em relação a
é
.
Portanto o integrando da integral dupla é
Passo 5
Montando a integral dupla sobre a região
. Como
é o retângulo
, a integral fica
Observação útil:
é produto de uma função só de
por uma função só de
. Nesses casos a integral dupla sobre retângulo separa:
Vou calcular cada uma separadamente.
Passo 6
Calcule
.
Integro termo a termo:
Avaliação de
a
:
Agora calcule
.
Uma primitiva de
é
. Assim,
Como
, isso é
Multiplicando os dois resultados (por separação de variáveis):
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: a integral de linha sobre o contorno do retângulo, no sentido anti-horário, de
é exatamente a integral dupla que calculamos e que tem o valor
.
Para dar uma noção numérica aproximada (opcional):
(com
em radianos) é aproximadamente
, então
e
. Mas a forma exata
é preferível.