Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada seguindo a orientação positiva.
\int_{C} \cos y d x+x^{2} sen y d y, C é o retângulo com vértices (0,0)), (5,0),(5,2)) e (0,2) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \cos y\,dx + x^{2}\operatorname{sen} y\,dy
ao longo da curva C que é o retângulo com vértices (0,0), (5,0), (5,2) e (0,2), seguindo a orientação positiva.
Informações dadas e o que se pede:
  • A curva C é o perímetro do retângulo D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 5,\\\ 0\le y\le 2\}.
  • A orientação positiva significa percorrer C no sentido anti-horário (contra-horário).
  • A integral de linha é \displaystyle\int_{C} P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=\cos y e Q(x,y)=x^{2}\operatorname{sen} y.
  • Objetivo: computar o valor numérico (ou expressão) dessa integral.

Passo 2

Intuição e estratégia (sem ainda executar contas): para integrais de linha de campos do tipo P\,dx+Q\,dy executadas sobre um contorno simples e fechado de uma região plana, existe uma fórmula que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre a região interior. Isso é útil quando a região é um retângulo porque a integral dupla é fácil de calcular por separação de variáveis. A curva dada é exatamente o contorno do retângulo D, então vamos aplicar essa fórmula (o enunciado pede orientação positiva, compatível com a fórmula).

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando (aqui explico passo-a-passo o que cada termo significa).
A fórmula afirma que, para um campo vetorial com componentes P(x,y) e Q(x,y) suficientemente suaves,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde:
  • C é o contorno fechado de uma região D no plano, percorrido no sentido anti-horário (orientação positiva);
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x;
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y;
  • dA é o elemento de área (ou seja, dA = dx\,dy ou dy\,dx).
Explicação didática: transformar a integral de linha numa integral dupla evita parametrizações lado a lado; calcula-se a “rotacional” bidimensional \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y e integra-se sobre a área interior. Para retângulos isso costuma ficar bem simples.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: identifiquei P(x,y)=\cos y e Q(x,y)=x^{2}\operatorname{sen} y. Agora calculo as derivadas parciais necessárias, mostrando cada passo.
Calcule \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\operatorname{sen} y\big)=2x\operatorname{sen} y,
porque \operatorname{sen} y é constante em relação a x e a derivada de x^{2} é 2x.
Calcule \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos y\big)=-\operatorname{sen} y,
pois a derivada de \cos y em relação a y é -\operatorname{sen} y.
Portanto o integrando da integral dupla é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x\operatorname{sen} y - (-\operatorname{sen} y)=(2x+1)\operatorname{sen} y.

Passo 5

Montando a integral dupla sobre a região D. Como D é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le 5,\\\ 0\le y\le 2\}, a integral fica
\iint_{D} (2x+1)\operatorname{sen} y\,dA = \int_{x=0}^{5}\int_{y=0}^{2} (2x+1)\operatorname{sen} y\,dy\,dx.
Observação útil: (2x+1)\operatorname{sen} y é produto de uma função só de x por uma função só de y. Nesses casos a integral dupla sobre retângulo separa:
\iint_{D} (2x+1)\operatorname{sen} y\,dA = \left(\int_{x=0}^{5} (2x+1)\,dx\right)\left(\int_{y=0}^{2} \operatorname{sen} y\,dy\right).
Vou calcular cada uma separadamente.

Passo 6

Calcule \displaystyle\int_{x=0}^{5} (2x+1)\,dx.
Integro termo a termo:
\int (2x+1)\,dx = \int 2x\,dx + \int 1\,dx = x^{2}+x + C.
Avaliação de 0 a 5:
\left[x^{2}+x\right]_{0}^{5} = (5^{2}+5) - (0^{2}+0) = 25+5=30.
Agora calcule \displaystyle\int_{y=0}^{2} \operatorname{sen} y\,dy.
Uma primitiva de \operatorname{sen} y é -\cos y. Assim,
\int_{0}^{2} \operatorname{sen} y\,dy = \left[-\cos y\right]_{0}^{2} = -\cos 2 - (-\cos 0) = -\cos 2 + \cos 0.
Como \cos 0 = 1, isso é
-\cos 2 + 1 = 1-\cos 2.
Multiplicando os dois resultados (por separação de variáveis):
\iint_{D} (2x+1)\operatorname{sen} y\,dA = 30\cdot(1-\cos 2).

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: a integral de linha sobre o contorno do retângulo, no sentido anti-horário, de \cos y\,dx + x^{2}\operatorname{sen} y\,dy é exatamente a integral dupla que calculamos e que tem o valor \;30(1-\cos 2).
Para dar uma noção numérica aproximada (opcional): \cos 2 (com 2 em radianos) é aproximadamente -0,4161, então 1-\cos 2\approx 1-(-0,4161)=1{,}4161 e 30(1-\cos 2)\approx 42{,}483. Mas a forma exata \;30(1-\cos 2) é preferível.

Resposta

30\bigl(1-\cos 2\bigr)

Exercícios relacionados