Calcule as seguintes integrais de linha por dois métodos : (a) diretamente e (b) utilizando o teorema de Green. \oint_{C} x y d y+x^{2} y^{3} d y, C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0)), (1,2)).
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
\oint_{C} x y\,dy + x^{2} y^{3}\,dy
onde C é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,2). Vou esclarecer as informações e o que se pede:
A forma diferencial dada pode ser escrita como P\,dx + Q\,dy comP(x,y)=0,\qquad Q(x,y)=x y + x^{2} y^{3},porque os dois termos no enunciado são multiplicados por dy.
A curva C é o contorno do triângulo com vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,2)\to(0,0).
O enunciado não especifica a orientação, então vamos assumir a orientação positiva (contra-horária), que é a hipótese usual ao aplicar o Teorema de Green.
O objetivo: calcular a integral \oint_C P\,dx + Q\,dy por dois métodos:
(a) diretamente, parametrizando cada lado do triângulo;
(b) usando o Teorema de Green (transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interior).
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Breve revisão prática antes de calcular (aula rápida para a prova):
Definição prática de integral de linha de uma forma P\,dx+Q\,dy. Se uma curva C for parametrizada por\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)),\quad t\in[a,b],então\int_C P\,dx+Q\,dy=\int_a^b \big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.Para uma curva composta por vários segmentos, soma-se a integral em cada segmento.
Teorema de Green (fórmula que vai usar no método (b)): para uma região simples D com contorno C orientado positivamente,\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.Aqui \partial Q/\partial x significa derivada parcial de Q em relação a x, e \partial P/\partial y é derivada parcial de P em relação a y.
Agora aplico o método (a) diretamente.
Passo 3
Parametrização do contorno C em três lados (na orientação contra-horária):
Segmento C_1: de A=(0,0) até B=(1,0). Parâmetro t\in[0,1]:x(t)=t,\quad y(t)=0.Então x'(t)=1, y'(t)=0.
Como P=0 e Q(x,y)=x y + x^{2} y^{3}, ao longo de C_1 temos y=0 então Q=0. Assim\int_{C_1} P\,dx+Q\,dy=\int_0^1 \big(0\cdot 1 + 0\cdot 0\big)\,dt=0.Conclusão: C_1 contribui com 0.
Passo 4
Segmento C_2: de B=(1,0) até C=(1,2). É a reta vertical x=1, y varia de 0 a 2. Parâmetro t\in[0,2]:
Segmento C_3: de C=(1,2) de volta a A=(0,0). Essa reta passa pela origem e por (1,2), sua equação é y=2x. Para manter orientação contra-horária seguimos de x=1 até x=0.
Parametrizo por x (como variável x decresce de 1 a 0):
Pelo cálculo direto (parametrizando cada lado) obtivemos \;2.
Pelo Teorema de Green (convertendo para integral dupla e integrando sobre o triângulo) também obtivemos \;2.
Ambos os métodos coincidem, como deve acontecer. É importante memorizar que, para aplicar Green corretamente, deve-se ter a orientação positiva do contorno e tomar cuidado ao identificar P e Q (aqui P=0 facilitou bastante).
Força na prova — você consegue! Se quiser, posso mostrar isso desenhado ou repetir a resolução com a orientação inversa para ver o sinal mudando.