Exercício 04: Considere \Omega=\mathbb{N} e \mathcal{F}=\mathcal{P}(\mathbb{N}). Seja P: \mathcal{F} \longrightarrow[0,1] dada por P(A)=1, se A é infinito e P(A)=0 se A é finito. P é uma medida de probabilidade ?

Passo 1

O enunciado dá: o espaço amostral \Omega=\mathbb{N}\), a sigma-álgebra \(\mathcal{F}=\mathcal{P}(\mathbb{N})\) (todas as partes de \(\mathbb{N}\)) e a aplicação \(P:\mathcal{F}\to[0,1]\) definida por \[P(A)=\begin{cases} 1, & \text{se }A\text{ é infinito},\\[4pt] 0, & \text{se }A\text{ é finito}. \end{cases}
A pergunta é: P\] é uma medida de probabilidade? Ou seja, a função \(P satisfaz as propriedades exigidas para ser uma probabilidade sobre (\Omega,\mathcal{F})?]

Passo 2

O que significa ser uma medida de probabilidade — aula rápida e direta:
  • Uma medida de probabilidade é uma função P:\mathcal{F}\to[0,1] que satisfaz os seguintes axiomas:
    1. \;P(\varnothing)=0.
    2. \;P(\Omega)=1.
    3. (Aditividade contável / sigma-aditividade) Se (A_n)_{n\ge1} for uma sequência de conjuntos mutuamente disjuntos (ou seja, A_i\cap A_j=\varnothing para i\ne j), então
    P\!\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\sum_{n=1}^\infty P(A_n).
  • Observação prática: se P falha em (3) já está fora — não é probabilidade. Também vale checar aditividade finita (caso especial de (3)).

Passo 3

Verificações imediatas que dão informação útil:
  • \Omega=\mathbb{N} é infinito, então pelo enunciado P(\Omega)=1. Logo o axioma 2 está satisfeito.
  • \varnothing é finito, então P(\varnothing)=0. Axioma 1 está satisfeito.
  • Não há problema com a imagem estar em [0,1]: por construção P(A)\in\{0,1\}\subset[0,1].
    Até aqui tudo bem — mas falta checar a aditividade (contável).

Passo 4

Testando a aditividade finita (caso simples e já suficiente para contradizer): se existirem dois conjuntos disjuntos ambos infinitos, então
P(A)=1,\quad P(B)=1,\quad A\cap B=\varnothing.
Pela aditividade finita esperaria-se
P(A\cup B)=P(A)+P(B)=1+1=2,
o que é impossível porque P toma valores em [0,1]. Assim, se encontrarmos dois conjuntos disjuntos e infinitos, P viola a aditividade e não é medida. Vamos dar um exemplo explícito extra-clarificador (que você pode usar na prova).

Passo 5

Exemplo explícito (contraditório): defina
A_{\text{pares}}=\{2,4,6,\dots\},\qquad A_{\text{ímpares}}=\{1,3,5,\dots\}.í
Esses dois conjuntos são disjuntos e cada um é infinito. Pelo enunciado,
P(A_{\text{pares}})=1,\qquad P(A_{\text{ímpares}})=1.í
Mas A_{\text{pares}}\cup A_{\text{ímpares}}=\mathbb{N}=\Omegaí, então
P(A_{\text{pares}}\cup A_{\text{ímpares}})=P(\Omega)=1.í
Se P fosse finitamente aditiva deveríamos ter 1=P(\Omega)=P(A_{\text{pares}}\cup A_{\text{ímpares}})=P(A_{\text{pares}})+P(A_{\text{ímpares}})=2íí, contradição. Portanto P não é aditiva e, portanto, não é medida de probabilidade.

Passo 6

Outra forma de ver a falha (mostra que a sigma-aditividade também falha): tome a sequência de singletons disjuntos
A_n=\{n\},\quad n=1,2,3,\dots
Cada A_n é finito, então P(A_n)=0 para todo n. Logo
\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\sum_{n=1}^\infty 0=0.
Por outro lado \bigcup_{n=1}^\infty A_n=\mathbb{N} é infinito, então
P\!\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=P(\mathbb{N})=1.
Isso mostra diretamente que a propriedade de aditividade contável é violada ( 1\neq 0). É uma contradição clara com o axioma 3.

Passo 7

Conclusão: apesar de satisfazer P(\varnothing)=0 e P(\Omega)=1, a função P falha na aditividade (tanto finita quanto contável), já que atribui medida 1 a conjuntos disjuntos infinitos e medida 0 a singletons cuja união é um conjunto de medida 1. Portanto P não é uma medida de probabilidade.

Resposta

Não. P não é uma medida de probabilidade.

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