Exercício 04: Considere
e
. Seja
dada por
, se
é infinito e
se
é finito.
é uma medida de probabilidade ?
Passo 1
O enunciado dá: o espaço amostral
A pergunta é:
satisfaz as propriedades exigidas para ser uma probabilidade sobre
?]
Passo 2
O que significa ser uma medida de probabilidade — aula rápida e direta:
- Uma medida de probabilidade é uma função
que satisfaz os seguintes axiomas: -
-
- (Aditividade contável / sigma-aditividade) Se
for uma sequência de conjuntos mutuamente disjuntos (ou seja, para ), então
-
- Observação prática: se
falha em (3) já está fora — não é probabilidade. Também vale checar aditividade finita (caso especial de (3)).
Passo 3
Verificações imediatas que dão informação útil:
-
é infinito, então pelo enunciado . Logo o axioma 2 está satisfeito. -
é finito, então . Axioma 1 está satisfeito. - Não há problema com a imagem estar em
: por construção .
Até aqui tudo bem — mas falta checar a aditividade (contável).
Passo 4
Testando a aditividade finita (caso simples e já suficiente para contradizer): se existirem dois conjuntos disjuntos ambos infinitos, então
Pela aditividade finita esperaria-se
o que é impossível porque
toma valores em
. Assim, se encontrarmos dois conjuntos disjuntos e infinitos,
viola a aditividade e não é medida. Vamos dar um exemplo explícito extra-clarificador (que você pode usar na prova).
Passo 5
Exemplo explícito (contraditório): defina
Esses dois conjuntos são disjuntos e cada um é infinito. Pelo enunciado,
Mas
, então
Se
fosse finitamente aditiva deveríamos ter
, contradição. Portanto
não é aditiva e, portanto, não é medida de probabilidade.
Passo 6
Outra forma de ver a falha (mostra que a sigma-aditividade também falha): tome a sequência de singletons disjuntos
Cada
é finito, então
para todo
. Logo
Por outro lado
é infinito, então
Isso mostra diretamente que a propriedade de aditividade contável é violada (
). É uma contradição clara com o axioma 3.
Passo 7
Conclusão: apesar de satisfazer
e
, a função
falha na aditividade (tanto finita quanto contável), já que atribui medida
a conjuntos disjuntos infinitos e medida
a singletons cuja união é um conjunto de medida
. Portanto
não é uma medida de probabilidade.
Resposta
Não. P não é uma medida de probabilidade.