Questão 1. (2.5 pts.) Sabendo que um computador foi usado para gerar cinco números aleatórios independentes uniformemente distribuídos no intervalo (0,2), determine verdadeiro (V) ou falso (F) :
(F) A probabilidade de um número estar em (\left(1, \frac{3}{2}\right)) é a mesma dele estar em (\left(\frac{1}{4}, \frac{21}{20}\right)).
(V) A probabilidade de exatamente 2 números estar em (\left(1, \frac{5}{4}\right)) é a mesma deles estar em (\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)).
(V) A probabilidade de exatamente 3 números estar em (\frac{3}{2}, 1) é menor que 0.1.
(V) A probabilidade de menos do que 4 números sejam maiores que \frac{6}{4} é menor que 0.5 .
(V) A probabilidade de nenhum deles estar em (\frac{1}{2}, 1) é maior que 0.1.

Passo 1

O enunciado diz: foram gerados cinco números aleatórios independentes, uniformes no intervalo (0,2). Temos cinco afirmações e devemos dizer se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). As afirmações, na ordem, são:
  1. A probabilidade de um número estar em \left(1,\tfrac{3}{2}\right) é a mesma de estar em \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{21}{20}\right).
  2. A probabilidade de exatamente 2 números estarem em \left(1,\tfrac{5}{4}\right) é a mesma da probabilidade de exatamente 2 estarem em \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\right).
  3. A probabilidade de exatamente 3 números estarem em \left(\tfrac{3}{2},1\right) é menor que 0,1.
  4. A probabilidade de menos do que 4 números serem maiores que \tfrac{6}{4} é menor que 0,5.
  5. A probabilidade de nenhum deles estar em \left(\tfrac{1}{2},1\right) é maior que 0,1.
Dados relevantes: cinco observações independentes, cada uma com distribuição uniforme em (0,2).

Passo 2

Primeira ferramenta que precisamos: para X uniforme em (0,2) a densidade é constante e igual a
f_X(x)=\frac{1}{2},\quad x\in(0,2).
Isso significa que a probabilidade de X cair em um subintervalo (a,b)\subset(0,2) é proporcional ao comprimento do intervalo:
P\big(X\in(a,b)\big)=\int_a^b \frac{1}{2}\,dx=\frac{b-a}{2}.
Então, regra prática: para qualquer subintervalo interior, a probabilidade é o comprimento dividido por 2. Vou usar isso repetidas vezes.

Passo 3

Analisando a afirmação 1. Calculemos os comprimentos:
  • Para \left(1,\tfrac{3}{2}\right) o comprimento é
\tfrac{3}{2}-1=\tfrac{1}{2}.
Logo
P\big(X\in(1,\tfrac{3}{2})\big)=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}=0,25.
  • Para \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{21}{20}\right) o comprimento é
\tfrac{21}{20}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{21}{20}-\tfrac{5}{20}=\tfrac{16}{20}=\tfrac{4}{5}=0,8.
Logo
P\big(X\in(\tfrac{1}{4},\tfrac{21}{20})\big)=\frac{4/5}{2}=\frac{2}{5}=0,4.
As probabilidades são 0,25 e 0,4, portanto não são iguais. Conclusão: a afirmação 1 é falsa.

Passo 4

Segunda ferramenta: os cinco números são independentes. Para qualquer subintervalo com probabilidade de sucesso p para uma observação, o número de observações que caem nesse intervalo segue uma distribuição binomial com parâmetros n=5 e p. A fórmula é
P(\text{exatamente }k)=\binom{5}{k} p^{k} (1-p)^{5-k},
onde \binom{5}{k}=\dfrac{5!}{k!(5-k)!} conta de quantas maneiras podemos escolher quais k observações são as “sucessos”. Vou aplicar isso às próximas afirmações.

Passo 5

Afirmação 2: precisamos comparar a probabilidade de exatamente 2 números em \left(1,\tfrac{5}{4}\right) com a de exatamente 2 em \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\right).
Calculemos p para cada intervalo usando a regra do comprimento dividido por 2.
  • Para \left(1,\tfrac{5}{4}\right): comprimento \tfrac{5}{4}-1=\tfrac{1}{4}. Então
p=\frac{1/4}{2}=\frac{1}{8}.
  • Para \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\right): comprimento \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}. Novamente
p=\frac{1/4}{2}=\frac{1}{8}.
Os dois intervalos têm exatamente o mesmo p=\tfrac{1}{8}. Logo a probabilidade de exatamente 2 sucessos é a mesma nos dois casos, porque é a mesma expressão binomial
\binom{5}{2}\left(\tfrac{1}{8}\right)^2\left(\tfrac{7}{8}\right)^3.
Conclusão: a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 6

Afirmação 3: olha o intervalo \left(\tfrac{3}{2},1\right). Note que o primeiro extremo \tfrac{3}{2}=1{,}5 é maior que o segundo extremo 1, então esse intervalo aberto é vazio; não existe ponto x tal que 1{,}5<x<1. Para intervalos vazios, a probabilidade de uma observação cair nele é 0.
Portanto a probabilidade de exatamente 3 números estarem nesse intervalo é
P(\text{exatamente }3)=\binom{5}{3} 0^3 (1-0)^2 = 0.
E 0<0{,}1. Conclusão: a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 7

Afirmação 4: "a probabilidade de menos do que 4 números serem maiores que \tfrac{6}{4}" — vamos interpretar corretamente:
  • \tfrac{6}{4}=1{,}5.
  • Para uma observação X, P(X>1{,}5)= comprimento de (1{,}5,2) dividido por 2, que é
\frac{2-1{,}5}{2}=\frac{0{,}5}{2}=\frac{1}{4}=0{,}25.
Chamando Y o número de observações maiores que 1{,}5, temos Y\sim\mathrm{Binom}(5,0{,}25).
“Menos do que 4” significa Y\le 3. Então
P(Y\le 3)=1-P(Y\ge 4)=1-\big(P(Y=4)+P(Y=5)\big).
Calculemos P(Y=4) e P(Y=5):
P(Y=4)=\binom{5}{4}(0{,}25)^4(0{,}75)=5\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{3}{4}=\frac{15}{1024}.
P(Y=5)=(0{,}25)^5=\frac{1}{1024}.
Somando:
P(Y\ge 4)=\frac{15}{1024}+\frac{1}{1024}=\frac{16}{1024}=\frac{1}{64}=0{,}015625.
Logo
P(Y\le 3)=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}\approx 0{,}984375,
que é muito maior que 0{,}5. Portanto a afirmação "a probabilidade de menos do que 4 números serem maiores que \tfrac{6}{4} é menor que 0{,}5" é falsa.

Passo 8

Afirmação 5: probabilidade de nenhum estar em \left(\tfrac{1}{2},1\right).
Compute o p de sucesso (estar no intervalo):
Comprimento de \left(\tfrac{1}{2},1\right) é 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, então
p=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}=0{,}25.
Probabilidade de nenhum dos 5 cair no intervalo é
(1-p)^5=(0{,}75)^5.
Podemos escrever como fração:
(0{,}75)^5=\left(\tfrac{3}{4}\right)^5=\frac{3^5}{4^5}=\frac{243}{1024}\approx 0{,}2373.
Como 0{,}2373>0{,}1, a afirmação 5 é verdadeira.
Um comentário de ânimo: deu trabalho mas é sempre reduzir ao comprimento do intervalo e à binomial quando contamos quantos caem nele — esse padrão resolve rápido várias dessas questões.

Resposta

F
V
V
F
V

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