Questão 1. (2.5 pts.) Sabendo que um computador foi usado para gerar cinco números aleatórios independentes uniformemente distribuídos no intervalo
, determine verdadeiro
ou falso
:
(F) A probabilidade de um número estar em
é a mesma dele estar em
.
(V) A probabilidade de exatamente 2 números estar em
é a mesma deles estar em
.
(V) A probabilidade de exatamente 3 números estar em
é menor que
.
(V) A probabilidade de menos do que 4 números sejam maiores que
é menor que 0.5 .
(V) A probabilidade de nenhum deles estar em
é maior que 0.1.
(F) A probabilidade de um número estar em
(V) A probabilidade de exatamente 2 números estar em
(V) A probabilidade de exatamente 3 números estar em
(V) A probabilidade de menos do que 4 números sejam maiores que
(V) A probabilidade de nenhum deles estar em
Passo 1
O enunciado diz: foram gerados cinco números aleatórios independentes, uniformes no intervalo
. Temos cinco afirmações e devemos dizer se cada uma é verdadeira
ou falsa
. As afirmações, na ordem, são:
-
A probabilidade de um número estar em
é a mesma de estar em . -
A probabilidade de exatamente 2 números estarem em
é a mesma da probabilidade de exatamente 2 estarem em . -
A probabilidade de exatamente 3 números estarem em
é menor que . -
A probabilidade de menos do que 4 números serem maiores que
é menor que . -
A probabilidade de nenhum deles estar em
é maior que .
Dados relevantes: cinco observações independentes, cada uma com distribuição uniforme em
.
Passo 2
Primeira ferramenta que precisamos: para
uniforme em
a densidade é constante e igual a
Isso significa que a probabilidade de
cair em um subintervalo
é proporcional ao comprimento do intervalo:
Então, regra prática: para qualquer subintervalo interior, a probabilidade é o comprimento dividido por
. Vou usar isso repetidas vezes.
Passo 3
Analisando a afirmação 1. Calculemos os comprimentos:
- Para
o comprimento é
Logo
- Para
o comprimento é
Logo
As probabilidades são
e
, portanto não são iguais. Conclusão: a afirmação 1 é falsa.
Passo 4
Segunda ferramenta: os cinco números são independentes. Para qualquer subintervalo com probabilidade de sucesso
para uma observação, o número de observações que caem nesse intervalo segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A fórmula é
onde
conta de quantas maneiras podemos escolher quais
observações são as “sucessos”. Vou aplicar isso às próximas afirmações.
Passo 5
Afirmação 2: precisamos comparar a probabilidade de exatamente 2 números em
com a de exatamente 2 em
.
Calculemos
para cada intervalo usando a regra do comprimento dividido por
.
- Para
: comprimento . Então
- Para
: comprimento . Novamente
Os dois intervalos têm exatamente o mesmo
. Logo a probabilidade de exatamente
sucessos é a mesma nos dois casos, porque é a mesma expressão binomial
Conclusão: a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 6
Afirmação 3: olha o intervalo
. Note que o primeiro extremo
é maior que o segundo extremo
, então esse intervalo aberto é vazio; não existe ponto
tal que
. Para intervalos vazios, a probabilidade de uma observação cair nele é
.
Portanto a probabilidade de exatamente
números estarem nesse intervalo é
E
. Conclusão: a afirmação 3 é verdadeira.
Passo 7
Afirmação 4: "a probabilidade de menos do que
números serem maiores que
" — vamos interpretar corretamente:
-
. - Para uma observação
, comprimento de dividido por , que é
Chamando
o número de observações maiores que
, temos
.
“Menos do que 4” significa
. Então
Calculemos
e
:
Somando:
Logo
que é muito maior que
. Portanto a afirmação "a probabilidade de menos do que 4 números serem maiores que
é menor que
" é falsa.
Passo 8
Afirmação 5: probabilidade de nenhum estar em
.
Compute o
de sucesso (estar no intervalo):
Comprimento de
é
, então
Probabilidade de nenhum dos
cair no intervalo é
Podemos escrever como fração:
Como
, a afirmação 5 é verdadeira.
Um comentário de ânimo: deu trabalho mas é sempre reduzir ao comprimento do intervalo e à binomial quando contamos quantos caem nele — esse padrão resolve rápido várias dessas questões.
Resposta
F
V
V
F
V
V
V
F
V